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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Huntsman |
| Aufgabe | Zeigen sie anhand des Induktionsverfahrens, dass das Ergebnis aus
n²+n (n [mm] \varepsilon \IN)
[/mm]
immer gerade is |
Muss ich für eine Facharbeit vorbereiten, krieg es aber nicht hin.
Ich müsste irgendwie n+1 einsetzen, um die Gleichung für folgende natürliche Zahlen zu beweisen, aber wenn ich einfach n = n+1 einsetze und dass mit n²+n gleichsetze, kann kein richtiges Ergebnis rauskommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schon mal im Vorraus.
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> Ich müsste irgendwie n+1 einsetzen, um die Gleichung für
> folgende natürliche Zahlen zu beweisen, aber wenn ich
> einfach n = n+1 einsetze und dass mit n²+n gleichsetze,
> kann kein richtiges Ergebnis rauskommen.
Wenn du n+1 für n einsetzt, dann kommt raus:
[mm] n^{2}+3n+2
[/mm]
Was ist, wenn n gerade ist?
Was ist, wenn n ungerade ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Huntsman |
ENTSCHULDIGE BITTE!
Ich habe mich bei der Gleichung oben vollkommen verschrschrieben.
Es muss richtig lauten:
n²-n
und NICHT n²+n. Die Aufgabe bleibt aber immer noch die gleiche.
Trotzdem danke für deine schnelle Antwort.
Um auf deine letzte Frage einzugehen:
Es soll für beide Fälle berechnet werden, wobei ich aber nicht wusste, dass es einen Unterschied in der Berechnung macht.
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Hallo Huntsman!
Die Induktion könnte folgendermaßen aussehen:
Induktionsanfang n=0:
Dann ist [mm] n^2 [/mm] - n = 0, und die Null wird sicherlich von 2 geteilt.
Induktionshypothese:
Die Aussage sei für ein festes n [mm] \in \IN [/mm] wahr.
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1:
Es ist [mm] (n+1)^2-(n+1) [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1 - n - 1 = [mm] n^2 [/mm] + n.
Nun formen wir ein bißchen um:
[mm] n^2 [/mm] + n = [mm] n^2 [/mm] - n + n + n = [mm] n^2 [/mm] - n + 2n
Unabhängig von n ist 2n stets eine gerade Zahl. Nach der Induktionsvoraussetzung wissen wir, daß [mm] n^2 [/mm] - n gerade ist. Die Summe zweier gerader Zahlen ist ebenfalls wieder gerade, denn man kann aus beiden geraden Summanden die 2 faktorisieren. Also ist [mm] (n+1)^2-(n+1) [/mm] eine gerade Zahl und die Behauptung gilt für n+1 (und damit für alle n [mm] \in \IN).
[/mm]
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Huntsman |
Dank an alle für eure Hilfe. Das hat mir sehr weitergeholfen!
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