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| Aufgabe | | [mm]
1+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+...+\bruch{1}{n^{2}} \le 2 - \bruch{1}{n}
[/mm] |
Hallo, ich hab ein kleines Problem mit der o.g. Aufgabe
die Aufgabe ist mit vollständiger Induktion zu lösen, aber ich tu mich recht schwer beim abschätzen von Ungleichungen
I.A. n=1
[mm] \bruch{1}{1^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{1}
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 1
I.V. [mm] \exists n\in\IN [/mm]
[mm] 1+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+...+\bruch{1}{n^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
I.B. n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm] \bruch{1}{(n+1)^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{(n+1)}
[/mm]
I.S.
[mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}}\le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
rechte Seite:
[mm] \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
[mm] \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{n^2+n+1}{n(n+1)^2}
[/mm]
wie sollte ich an dieser Stelle weiter vorgehen?
[mm] \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{n^2+n}{n(n+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n(n+1)^2} [/mm] ich komm irgendwie nicht auf die Induk. Beh.
wäre für jeden Tipp dankbar.
LG
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Hallo MrGreenhorn,
Mir ist nicht ganz klar, wie genau du die Induktionsvoraussetzung verwendest ...
> I.B. n [mm]\mapsto[/mm] n+1
>
> [mm]\bruch{1}{(n+1)^2} \le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{(n+1)}[/mm]
>
> I.S.
>
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)^{2}}\le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{(n+1)^{2}}[/mm]
... ich würde hier schreiben:
[mm]\sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{k^2}}=\frac{1}{(n+1)^2}+\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}\stackrel{\text{I.V.}}{\le}\frac{1}{(n+1)^2}+2-\frac{1}{n}=:(\dagger)[/mm]
Und jetzt erst können wir den rechten Term dieser Ungleichung betrachten. Den hast du bei dir unter "rechte Seite:" bereits aufgeschrieben:
[mm](\dagger)=\frac{n-\left(n^2+2n+1\right)}{(n+1)^2}+2=2+\frac{-n-n^2-1}{(n+1)^2}[/mm]
[mm]=2-\frac{n^2+n+1}{(n+1)^2}\stackrel{!}{\le}2-\frac{1}{(n+1)^2}\Rightarrow\frac{1}{(n+1)^2}\le\frac{n^2+n+1}{(n+1)^2}\Rightarrow 0\le n^2+n.\quad\Box[/mm]
Viele Grüße
Karl
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