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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 26.08.2010 | | Autor: | matheo |
Hallo zusammen,
ich habe auch Probleme bei der Lösung einer Aufgabe. Ich habe zwar die Lösung, aber ich versteh den Zwischenschritt nicht, vllt kann mir ja jmd helfen:
Behauptung: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i³ > [mm] \bruch{1}{4} n^4
[/mm]
I.A. Für n=1 gilt: 1³=1 > [mm] \bruch{1}{4} [/mm] *1 = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
I. V. Für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i³ > [mm] \bruch{1}{4} n^4
[/mm]
I.S. zu zeigen: Für n+1 gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i³ > [mm] \bruch{1}{4} (n+1)^4
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i³ =
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i³ + (n+1) > (nach I.V.) [mm] \bruch{1}{4} n^4 [/mm] + (n+1) bis dahin ist noch alles klar
= [mm] \bruch{1}{4} n^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (4 n³+ 12 n² + 12n +4) das ist auch noch klar, (n+1)³ wurde ausgerechnet und [mm] \bruch{1}{4} [/mm] wurde ausgeklammert, die folgenden Schritte verstehe ich nicht mehr
= [mm] \bruch{1}{4} (n^4 [/mm] + 4n³+ 6n² + 4n +1) [mm] +\bruch{1}{4} [/mm] (6 n² + 8n +3)
> [mm] \bruch{1}{4} (n+1)^4 [/mm]
Danke im Voraus
theo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 26.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo zusammen,
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> ich habe auch Probleme bei der Lösung einer Aufgabe. Ich
> habe zwar die Lösung, aber ich versteh den Zwischenschritt
> nicht, vllt kann mir ja jmd helfen:
>
> Behauptung: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i³ > [mm]\bruch{1}{4} n^4[/mm]
>
> I.A. Für n=1 gilt: 1³=1 > [mm]\bruch{1}{4}[/mm] *1 =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> I. V. Für ein n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i³ >
> [mm]\bruch{1}{4} n^4[/mm]
>
> I.S. zu zeigen: Für n+1 gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i³ >
> [mm]\bruch{1}{4} (n+1)^4[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i³ =
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i³ + (n+1) > (nach I.V.) [mm]\bruch{1}{4} n^4[/mm]
> + (n+1) bis dahin ist noch alles klar
>
>
> = [mm]\bruch{1}{4} n^4[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] (4 n³+ 12 n² + 12n +4)
> das ist auch noch klar, (n+1)³ wurde ausgerechnet und
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] wurde ausgeklammert, die folgenden Schritte
> verstehe ich nicht mehr
Nach dem Binomischen Lehrsatz
ist $ [mm] (a+b)^{4}=a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+a^{0}b^{4} [/mm] $
>
>
> = [mm]\bruch{1}{4} (n^4[/mm] + 4n³+ 6n² + 4n +1) [mm]+\bruch{1}{4}[/mm] (6
> n² + 8n +3)
Naja, hier wird etwas, was grösser 0 ist (zeige das noch), "weggelassen", Wenn a,b>0, dann gilt a+b>a
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> > [mm]\bruch{1}{4} (n+1)^4[/mm]
>
> Danke im Voraus
>
> theo
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 26.08.2010 | | Autor: | matheo |
Könntest du mir beides genauer erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 26.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das "Ziel" ist ja $ [mm] \bruch{1}{4}\left(n+1\right)^{4} [/mm] $
Es gilt nach binomischem Lehrsatz (Das ist die "Erweiterung" zu den binomischen Formeln)
$ [mm] \bruch{1}{4}\left(n+1\right)^{4} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{4}\left(n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\right)
[/mm]
Also muss ich den Term so umformen, dass ich die zweite Zeile da stehen habe. Wenn dabei noch etwas positives zusaddiert wird, ist das aber kein Problem, denn wenn a und b je größer als Null sind, gilt, wie man relativ schnell prüfen kann: a+b>a
Ist das jetzt konkret genug? Wenn nicht, frage ruhig nach, aber dann bitte etwas genauer.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Fr 27.08.2010 | | Autor: | matheo |
Ich muss mir das noch einmal genau anschauen.
Vielleicht komme ich aber auf dein Angebot zurück.
Danke erstmal.
Gruß theo
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