vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 25.12.2011 | | Autor: | mega92 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
(i) [mm] 5^{n}+7 [/mm] ist durch 4 teilbar |
Hallo zusammen,
ich bin jetzt bei meinem Induktionsschluss angekommen:
[mm] 5^{n+1}+7=5^{n}*5^{1}+7 [/mm]
Woher weiß ich jetzt, dass man das durch 4 teilen kann?
Man kann es jetzt über Einsetzten ausprobieren, aber wenn man das dann ohne Taschenrechner machen muss, wird es schon heftig (in der Klausur darf man keinen verwenden)
MfG
|
|
| |
|
Hallo mega92,
> Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> für alle natürlichen Zahlen n gilt:
>
> (i) [mm]5^{n}+7[/mm] ist durch 4 teilbar
> Hallo zusammen,
>
> ich bin jetzt bei meinem Induktionsschluss angekommen:
>
> [mm]5^{n+1}+7=5^{n}*5^{1}+7[/mm]
>
> Woher weiß ich jetzt, dass man das durch 4 teilen kann?
Das musst du aus der Induktionsvoraussetzung [mm]4\mid(5^n+7)[/mm] für bel., aber festes n folgern
Mit [mm]4\mid(5^n+7)[/mm] gilt auch, dass [mm]4\mid(5\cdot}(5^n+7))=5^{n+1}+35[/mm]
Nun weißt du, dass [mm]4\mid 28[/mm]
Also [mm]4\mid(5^{n+1}+35)[/mm] und [mm]4\mid 28[/mm]
Weiter ist die Regel:
Wenn [mm]a\mid b[/mm] und [mm]a\mid c[/mm], dann [mm]a\mid(b\pm c)[/mm] bekannt.
Kommst du damit auf [mm]4\mid(5^{n+1}+7)[/mm] ?
>
> Man kann es jetzt über Einsetzten ausprobieren, aber wenn
> man das dann ohne Taschenrechner machen muss, wird es schon
> heftig (in der Klausur darf man keinen verwenden)
Sollst du ja auch nicht, sondern elementarste Teilbarkeitsregeln!
>
> MfG
Frohe Weihnachten!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 25.12.2011 | | Autor: | mega92 |
>
> Mit [mm]4\mid(5^n+7)[/mm] gilt auch, dass
> [mm]4\mid(5\cdot}(5^n+7))=5^{n+1}+35[/mm]
>
[mm] 5(5^{n}+7)\not=5^{n+1}+7 [/mm] oder nicht?
muss es nicht heißen: [mm] (5*5^{n})+7?
[/mm]
danke dir auch frohe weihnachten
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> >
> > Mit [mm]4\mid(5^n+7)[/mm] gilt auch, dass
> > [mm]4\mid(5\cdot}(5^n+7))=5^{n+1}+35[/mm]
> >
> [mm]5(5^{n}+7)\not=5^{n+1}+7[/mm] oder nicht?
Natürlich ist das nicht gleich, hat ja auch keiner behauptet, dass das gleich sei ...
>
> muss es nicht heißen: [mm](5*5^{n})+7?[/mm]
Darauf willst du hinaus, aber dafür musst (kannst du einfach) mit der IV arbeiten wie beschrieben.
Wenn [mm]a\mid b[/mm], so auch [mm]a\mid k\cdot{}b[/mm]
Hier nach IV mit [mm]a=4[/mm] und [mm]b=5^n+7[/mm] also [mm]4\mid(5^n+7)[/mm]
Dann mit [mm]k=5[/mm] doch [mm]4\mid 5\cdot{}(5^n+7)[/mm]
Und das gibt ausgeklammert rechterhand [mm]5^{n+1}+35[/mm]
Damit und mit [mm]4\mid 28[/mm] sollst du auf das zu zeigende [mm]4\mid (5^{n+1}+7)[/mm] kommen.
Gruß
schachuzipus
>
> danke dir auch frohe weihnachten
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 25.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo mega92,
>
>
> > Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> > für alle natürlichen Zahlen n gilt:
> >
> > (i) [mm]5^{n}+7[/mm] ist durch 4 teilbar
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich bin jetzt bei meinem Induktionsschluss angekommen:
> >
> > [mm]5^{n+1}+7=5^{n}*5^{1}+7[/mm]
> >
> > Woher weiß ich jetzt, dass man das durch 4 teilen kann?
>
> Das musst du aus der Induktionsvoraussetzung [mm]4\mid(5^n+7)[/mm]
> für bel., aber festes n folgern
>
> Mit [mm]4\mid(5^n+7)[/mm] gilt auch, dass
> [mm]4\mid(5\cdot}(5^n+7))=5^{n+1}+35[/mm]
>
> Nun weißt du, dass [mm]4\mid 28[/mm]
>
> Also [mm]4\mid(5^{n+1}+35)[/mm] und [mm]4\mid 28[/mm]
das geht auch alles. Ich selber finde folgendes einfach(er):
Wir setzen voraus, dass
$$4 | [mm] (5^n+7)\,.$$
[/mm]
Wir wollen nun zeigen:
[mm] $$4|(5^{n+1}+7)\,.$$
[/mm]
Dazu schreibe ich einfach
[mm] $$5^{n+1}+7=5*5^n+7=(4+1)*5^n+7=4*5^n+(5^n+7)\,.$$
[/mm]
Dann ist für mich alles offensichtlich!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 25.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> für alle natürlichen Zahlen n gilt:
>
> (i) [mm]5^{n}+7[/mm] ist durch 4 teilbar
ein wenig abweichend von der Aufgabenstellung:
Die Behauptung kann man auch anders zeigen. Sogar auf mehreren Wegen, je nachdem, welches Wissen man verwenden darf.
Ein einfacher Beweis, der mit "wenig" auskommt (binomischer Lehrsatz und ein klein wenig Wissen bzgl. der Binomialkoeffizienten), und auch ohne Induktion ginge:
[mm] $$5^n=(4+1)^n=1+\sum_{k=1}^n [/mm] {n [mm] \choose k}4^k$$
[/mm]
liefert
[mm] $$5^n+7=\left\{4+\sum_{k=1}^n {n \choose k}4^k\right\}+4\,.$$
[/mm]
Man sieht sogar:
[mm] $$5^n+3$$
[/mm]
ist durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar.
P.S.:
Man kann die Aufgabe auch so angehen:
Für [mm] $(n=0\,,)\;\;\;n=1$ [/mm] ist die Behauptung klar (Induktionsanfang). Auch für [mm] $n=2\,$ [/mm] ist alles klar. Weil [mm] $(5^n)_{n \in \IN}$ [/mm] streng wächst mit wachsendem [mm] $n\,,$ [/mm] können wir wegen [mm] $5^3 [/mm] > 100$ für $n > [mm] 2\,$ [/mm] schreiben
[mm] $$5^n=\left\{\sum_{k=1}^m a_k 10^{k+1}\right\}+\underbrace{2*10^1+5*10^0}_{=25}\,,$$
[/mm]
mit einem von [mm] $n\,$ [/mm] abhängigen $m [mm] \in \IN_0\,,$ [/mm] wobei [mm] $m\,$ [/mm] der größte Index [mm] $\ell$ [/mm] ist, für den [mm] $a_\ell \not=0$ [/mm] gilt.
(Da steht eigentlich nichts anderes, als dass [mm] $5^n$ [/mm] für $n > [mm] 3\,$ [/mm] in der Dezimaldarstellung auf [mm] $25\,$ [/mm] endet. Dafür kann man auch noch einen kleinen Beweis liefern, wenn man mag - bzw. sollte man eigentlich, wenn man die Aufgabe wirklich vollständig löst.)
Nun begründet man, dass
[mm] $$\sum_{k=1}^m a_k 10^{k+1}$$
[/mm]
stets (d.h. für alle $m [mm] \in \IN$) [/mm] durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar ist.
(Das ist nur eine Umformulierung der Behauptung, dass jede natürliche Zahl, die in Dezimaldarstellung auf zwei Nullen endet, durch [mm] $4\,$ [/mm] geteilt werden kann, ohne dass ein Rest verbleibt.)
Und weil [mm] $25+7=32\,$ [/mm] (bzw. sogar auch [mm] $25+3=28\,$) [/mm] durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar ist, folgt daraus die Behauptung (bzw. auch, dass [mm] $5^n+3$ [/mm] stets durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar ist).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
