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| Aufgabe | Man beweise durch vollstänidge Induktion, für alle natürliche Zahlen n größer gleich 1 gilt:
[mm] 1^2+3^2+5^2+..+(2n-1)^2 [/mm] = n(2n-1)(2n+1)/3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
ich hoffe allen Forenregeln zu genügen.
Ich überspringe jetzt mal den Induktionsanfang für n=1 eingesetzt (1=1)und gehe direkt zum Induktionsschritt:
I.S. H(n) [mm] (2n-1)^2 [/mm] = n(2n-1)(2n+1) / 3
I.Behauptung [mm] (n+1)(2n+1-1)^2 [/mm] (2n+1+1) = [mm] (2n+1-1)^2
[/mm]
-->d.h. für H(n+1) gehe ich davon aus das [mm] (2n-1)^2 [/mm] + [mm] (2n+1-1)^2 [/mm] = n(2n-1)(2n+1) /3 ist?!
also kann ich ja sagen--> (n(2n-1)(2n+1)/3 [mm] +(2n+1-1)^2
[/mm]
da (n(2n-1)(2n+1)/3 ist ja eigentlich [mm] (2n-1)^2
[/mm]
soweit so gut ich hoffe ich habs bis hierher richtig und ihr konntet folgen.
Jedenfalls ich schreibs nochmal auf:
n(2n-1)(2n+1)/3 [mm] +(2n+1-1)^2 [/mm] --> dies addiert indem ich [mm] (2n+1-1)^2 [/mm] mit 3 erweiter um einen gleichen Nenner zu haben. Müsste doch dann n(2n-1)(2n+1)/3 sein und somit mein Beweis.
Allerdings wenn ich das ausrechne komm ich nicht darauf.
Sorry mein Schulmathe ist ne Weile her und ich weiß nicht ob ich hier vielleicht irgendwo simpel ausklammern könnte oder irgendnen Trick nicht sehe oder aber mein Ansatz halt falsch ist.
Ich bitte um Rat.
Mit freundlichen Grüßen
Johannes
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Hallo blitzmerker/Johannes, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich kann, ehrlich gesagt, Deiner Notation nicht ganz folgen, aber ich versuchs mal.
> Man beweise durch vollstänidge Induktion, für alle
> natürliche Zahlen n größer gleich 1 gilt:
> [mm]1^2+3^2+5^2+..+(2n-1)^2[/mm] = n(2n-1)(2n+1)/3
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Tag,
>
> ich hoffe allen Forenregeln zu genügen.
> Ich überspringe jetzt mal den Induktionsanfang für n=1
> eingesetzt (1=1)
Na, dann hast du ihn ja gar nicht übersprungen. So reicht es doch.
> und gehe direkt zum Induktionsschritt:
>
> I.S. H(n) [mm](2n-1)^2[/mm] = n(2n-1)(2n+1) / 3
Was ist H(n)? Und soll es wirklich mit [mm] (2n-1)^2 [/mm] multipliziert werden? Das kann ich mir kaum vorstellen.
Du meinst hier doch bestimmt die Induktionsvoraussetzung, nämlich dass die gegebene Formel für ein bestimmtes n stimmt. Wenn die Summe der ungeraden Quadrate bis [mm] (2n-1)^2 [/mm] als H(n) definiert wird, heißt das also erst einmal, dass für ein bestimmtes n dies gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2=:H(n)=\bruch{1}{3}n(2n-1)(2n+1)
[/mm]
> I.Behauptung [mm](n+1)(2n+1-1)^2[/mm] (2n+1+1) = [mm](2n+1-1)^2[/mm]
>
> -->d.h. für H(n+1) gehe ich davon aus das [mm](2n-1)^2[/mm] +
> [mm](2n+1-1)^2[/mm] = n(2n-1)(2n+1) /3 ist?!
Nein. Du sollst zeigen, dass [mm] H(n+1)=H(n)+(2(n+1)-1)^2=H(n)+(2n+1)^2 [/mm] ist.
> also kann ich ja sagen--> (n(2n-1)(2n+1)/3 [mm]+(2n+1-1)^2[/mm]
>
> da (n(2n-1)(2n+1)/3 ist ja eigentlich [mm](2n-1)^2[/mm]
>
> soweit so gut ich hoffe ich habs bis hierher richtig und
> ihr konntet folgen.
Nein, das stimmt so nicht. [mm] 2n=2n+1-1\not=2(n+1)-1=2n+1
[/mm]
> Jedenfalls ich schreibs nochmal auf:
>
> n(2n-1)(2n+1)/3 [mm]+(2n+1-1)^2[/mm] --> dies addiert indem ich
> [mm](2n+1-1)^2[/mm] mit 3 erweiter um einen gleichen Nenner zu
> haben. Müsste doch dann n(2n-1)(2n+1)/3 sein und somit
> mein Beweis.
> Allerdings wenn ich das ausrechne komm ich nicht darauf.
> Sorry mein Schulmathe ist ne Weile her und ich weiß nicht
> ob ich hier vielleicht irgendwo simpel ausklammern könnte
> oder irgendnen Trick nicht sehe oder aber mein Ansatz halt
> falsch ist.
> Ich bitte um Rat.
Zu zeigen ist der blaue Teil:
[mm] H(n)+(2n+1)^2=\blue{\bruch{1}{3}n(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2=}\bruch{1}{3}(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)\blue{=\bruch{1}{3}(n+1)(2n+1)(2n+3)}
[/mm]
Das ist dann eigentlich nur noch Rechen- und Schreibarbeit.
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
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| Aufgabe | | Zu Beweisen ist der blaue Teil. |
Erstmal danke für die super schnelle Antwort!
Kann die Schritte nachvollziehen und ich sehe das ich dies schonmal so gerechnet hatte, wie es dann ganz unten bei dir zu sehen ist.
Problem daran:
Ich müsste doch dann eigentlich nur 1/3 (n+1)(2n+1)(2n+3) ausrechnen
-->1/3 [mm] (4n^3+12n^2+11n+3)
[/mm]
und dies müsste doch dann die Induktionsbehauptung erfüllen?
[mm] -->1/3n(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2 [/mm] = 1/3 [mm] 4n^3+4n^2+3n+1
[/mm]
Jedenfalls sehen so führen meine Rechenbeispiele immer zur Lösung.
Aber hier ist es doch nicht das identische Ergebnis oder reicht es zu zeigen das [mm] 4n^3=4n^3 [/mm]
in der Informatik würde das zumindest reichen. (O-Notation Laufzeitberechnung-->Anstieg bleibt gleich konstanten sind "egal").
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Hallo nochmal,
vorab: hier geht das nicht so wie bei der Landau-Notation (O-Notation) in der Informatik. In dieser Aufgabe muss exakte Gleichheit nachgewiesen werden, sonst funktioniert die Induktion nicht.
> Kann die Schritte nachvollziehen und ich sehe das ich dies
> schonmal so gerechnet hatte, wie es dann ganz unten bei dir
> zu sehen ist.
>
> Problem daran:
>
> Ich müsste doch dann eigentlich nur 1/3 (n+1)(2n+1)(2n+3)
> ausrechnen
> -->1/3 [mm](4n^3+12n^2+11n+3)[/mm]
Stimmt.
> und dies müsste doch dann die Induktionsbehauptung
> erfüllen?
Ja.
> [mm]-->1/3n(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2[/mm] = 1/3 [mm]4n^3+4n^2+3n+1[/mm]
Da fehlen noch Klammern (oder "ordentlich geschriebene" Brüche), aber wir wissen ja beide, was Du meinst...
> Jedenfalls sehen so führen meine Rechenbeispiele immer zur
> Lösung.
Eben. Bei solchen Summenformeln funktioniert das eigentlich immer so.
> Aber hier ist es doch nicht das identische Ergebnis
Nicht?
Ich multipliziere mal mit 3, dann spart man sich die Brüche. Zu zeigen ist also:
[mm] n(2n-1)(2n+1)+3*(2n+1)^2=(n+1)(2n+1)(2n+3)
[/mm]
Das kann man noch durch $(2n+1)$ teilen:
$n(2n-1)+3*(2n+1)=(n+1)(2n+3)$
Links steht [mm] 2n^2-n+6n+3=2n^2+5n+3
[/mm]
Rechts steht [mm] 2n^2+2n+3n+3=2n^2+5n+3
[/mm]
Das sieht doch gut aus. 
Als "schöner" wird meist empfunden, wenn man die linke Seite in die rechte überführen kann:
[mm] \blue{n(2n-1)+3*(2n+1)}=2n^2-n+6n+3=2n^2+2n+3n+3=2n(n+1)+3(n+1)=\blue{(n+1)(2n+3)}
[/mm]
> oder
> reicht es zu zeigen das [mm]4n^3=4n^3[/mm]
> in der Informatik würde das zumindest reichen. (O-Notation
> Laufzeitberechnung-->Anstieg bleibt gleich konstanten sind
> "egal").
Nein, siehe oben.
Grüße
reverend
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Super vielen dank für die Unterstützung!
Ich denke ich solle nochmal einen kleinen Exkurs in die Binomischen Formeln unternehmen.
Denn durch (2n+1) teilen wäre ich wohl heute nicht mehr gekommen, aber schöner Ahh- Effekt. 
Beste Grüße
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