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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - vollständige Induktion
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vollständige Induktion: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Do 07.11.2013
Autor: strawberryjaim

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 4k-1 = 2n²+n

Im Induktionsanfang setze ich also für alle n = 1 ein, damit ich beweise, dass A (n) für irgendein n gilt.

IS: n = (n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 4k-1 = 2(n+1)²+(n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 4k-1 = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 4k-1 + 4(n+1)
Warum habe ich hier auf einmal 4(n+1)?
Weiterhin setze ich 2n²+n für k ein, oder?
Leider weiß ich nämlich nicht, wie ich bei der Aufgabe weiter machen soll.

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Do 07.11.2013
Autor: fred97


> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 4k-1 = 2n²+n
>  Im Induktionsanfang setze ich also für alle n = 1 ein,
> damit ich beweise, dass A (n) für irgendein n gilt.

Was ??? Beim Induktionsanfang zeigst Du dass A(1) wahr ist.


>  
> IS: n = (n+1)
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] 4k-1 = 2(n+1)²+(n+1)
>  [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] 4k-1 = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 4k-1 + 4(n+1)
>  Warum habe ich hier auf einmal 4(n+1)?


Richtig lautet das:

[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (4k-1) [mm] =\summe_{k=1}^{n}(4k-1) [/mm] + 4(n+1)-1$


>  Weiterhin setze ich 2n²+n für k ein, oder?

Unfug. Wie kommst Du darauf ?


>  Leider weiß ich nämlich nicht, wie ich bei der Aufgabe
> weiter machen soll.

Wir haben

[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (4k-1) [mm] =\summe_{k=1}^{n}(4k-1) [/mm] + 4(n+1)-1$


Nach Induktionsvoraussetzung ( die hast Du noch gar nicht formulieret, wozu ich Dir dringend rate !) ist [mm] \summe_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n. [/mm]

Also:

[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (4k-1) [mm] =\summe_{k=1}^{n}(4k-1) [/mm] + [mm] 4(n+1)-1=2n^2+n+4(n+1)-1$ [/mm]

Jetzt zeige noch:

   [mm] 2n^2+n+4(n+1)-1=2(n+1)^2+n+1. [/mm]

Dann bist Du fertig.

FRED



Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Do 07.11.2013
Autor: strawberryjaim

Könntest du mir sagen, wie du auf [mm] 2n^2+n+4(n+1)-1=2(n+1)^2+n+1 [/mm] gekommen bist? Also der linke Teil ist klar. Aber wie komme ich auf den rechten Teil?

Danke :)

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Do 07.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,
> Könntest du mir sagen, wie du auf
> [mm]2n^2+n+4(n+1)-1=2(n+1)^2+n+1[/mm] gekommen bist? Also der linke
> Teil ist klar. Aber wie komme ich auf den rechten Teil?

[mm]2n^2+n+4(n+1)-1=2n^2+5n+3=(2n^2+4n+2)+n+1=2(n^2+2n+1)+n+1[/mm]

>

> Danke :)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Do 07.11.2013
Autor: strawberryjaim

Ich glaube ich stand einfach nur auf dem Schlauch. Danke, habs jetzt alles verstanden :) einen schönen Donnerstag noch. :)

Bezug
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