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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum ![[]](/images/popup.gif) 109.5 Satz auf der Seite 16 des Buches:
ich konnte den Beweis des Satzes bis zu dem Satz: " Und nun brauchen wir nur noch den Satz 103.1(Der Satz 103.1 besagt, dass [mm] f_{n} [/mm] genau dann gleichm. gegen f konvergiert, wenn [mm] lim\parallel f_{n}- [/mm] f [mm] \parallel=0 [/mm]
[mm] (\parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] ist hier die Supremumsnorm) ; dieser Satz ist aus derselben Serie dieses Buches, nämlich aus dem "Lehrbuch Analysis Teil 1"
von Harro Heuser. )
heranziehen, ... " (direkt nach (109.5)) nachvollziehen.
Warum muss man noch den Satz 103.1 benutzen ? Reicht es nicht aus, dass [mm] f_{n} [/mm] eine beliebige Cauchy-Folge aus einem der vier Räume gegen eine Grenzfunktion f strebt , die in dem jeweiligen Raum ist?
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 26.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zum
> 109.5 Satz
> auf der Seite 16 des Buches:
>
> ich konnte den Beweis des Satzes bis zu dem Satz: " Und nun
> brauchen wir nur noch den Satz 103.1(Der Satz 103.1 besagt,
> dass [mm]f_{n}[/mm] genau dann gleichm. gegen f konvergiert, wenn
> [mm]lim\parallel f_{n}-[/mm] f [mm]\parallel=0[/mm]
> [mm](\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] ist hier die Supremumsnorm) ;
> dieser Satz ist aus derselben Serie dieses Buches, nämlich
> aus dem "Lehrbuch Analysis Teil 1"
> von Harro Heuser. )
>
> heranziehen, ... " (direkt nach (109.5))
> nachvollziehen.
> Warum muss man noch den Satz 103.1 benutzen ? Reicht es
> nicht aus, dass [mm]f_{n}[/mm] eine beliebige Cauchy-Folge aus
> einem der vier Räume gegen eine Grenzfunktion f strebt ,
> die in dem jeweiligen Raum ist?
Man könnte argumentieren, dass die Aussage trivial ist, weil B(X) und C(X) als Norm die Supremumsnorm haben.
Genau genommen muss man diesen Schritt aber machen: An dieser Stelle ist bewiesen, dass eine beliebige Folge [mm]f_{n}[/mm] glm gegen f strebt. Mit dem Satz 103.1 ergibt sich, dass die Folge in der Supremumsnorm gegen f strebt, und damit gegen f konvergiert.
Schau dir die Aufgabe 4 an: dort wird ein normierter Raum mit einer anderen Norm [mm] ($\mathcal{L}^2$-Norm) [/mm] konstruiert. Dann gilt die Folgerung nicht: aus der glm Konvergenz (Konv. in der Supremumsnorm) folgt nicht die Konvergenz in bezüglich der [mm] $\mathcal{L}^2$-Norm.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe folgende Frage zur Definition von der Vollständigkeit der normierten Räume :
ich fange mit einem Beispiel an. Z.B. im 109.5 Satz wird am Anfang die
Existenz einer Cauchyfolge vorausgesetzt (" Sei [mm] (f_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge aus...") .
Meine Frage ist jetzt : gibt es vielleicht normierte Räume , in denen keine Cauchyfolge existiert? Di´rekt dazu habe ich dann weitere Frage:
Falls keine Cauchyfolge existiert, ist der jeweilige Raum trotzdem vollständig?
Ich habe versucht zu zeigen, dass dieser Raum trotzdem vollständig ist:
Zuerst schreibe ich die Definition von einem Banachraum (Vollständigkeit):
Ein normierter Raum E heißt vollständig , wenn jede Cauchyfolge aus E gegen ein Element aus E konvergiert.
Also, E normierter Raum ist vollständig [mm] \gdw [/mm] jede Cauchyfolge ... konvergiert [mm] \gdw [/mm] eine beliebige und jede Cauchyfolge ... konvergiert.
Wir nehmen mal an, dass es überhaupt keine Cauchyfolge in E gibt, also ist
die Aussage (als Aussage über die Existenz ) - jede Cauchyfolge (oder eine Cauchyfolge) - falsch .
Jetzt betrachten wir mal die Aussage : Jede Cauchyfolge in E oder eine beliebige Cauchyfolge in E existiert [mm] \Rightarrow [/mm] diese Cauchyfolge/n konvergiert/en - ist eine wahre Aussage , da aus einer falschen Aussage immer die Implikation ( f [mm] \Rightarrow [/mm] w ) wahr ist.
Daraus kann man folgern , dass falls keine Cauchyfolge in E existiert oder
existiert und diese/ jede konvergiert/en , die Aussage (wenn jede Cauchyfolge aus E gegen ein Element aus E konvergiert) an sich immer wahr ist. D.h , sogar wenn keine Cauchyfolge existiert, E ist trotzdem ein vollständiger Raum.
Kann man das so argumentieren?
Danke und Gruss!
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> ich habe folgende Frage zur Definition von der
> Vollständigkeit der normierten Räume :
>
> ich fange mit einem Beispiel an. Z.B. im 109.5 Satz wird am
> Anfang die
> Existenz einer Cauchyfolge vorausgesetzt (" Sei [mm](f_{n})[/mm]
> eine Cauchyfolge aus...") .
> Meine Frage ist jetzt : gibt es vielleicht normierte Räume
> , in denen keine Cauchyfolge existiert?
Wenn wir voraussetzen, dass der Raum mindestens einen Punkt enthält, gibt es immer eine Cauchyfolge, deren Folgenglieder alle gleich sind. Denn die Folge
[mm] (x_n), x_n = a [/mm] für alle n
ist eine konvergente und damit eine Cauchyfolge.
Wenn es keine Cauchyfolge gibt, ist der Raum die leere Menge.
Viele Grüße
Rainer
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