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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 10.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | beweisen sie mittels voolständiger induktion, dass für alle natürliche zahlen
[mm] n\varepsilon \IN [/mm] gilt. |
hi leute
ich habe mal ne frage zu der aufgabe, also in der uni hatte ich das noch verstanden aber jetzt drängt sich mir hier zu hause eine frage auf, eigentlich keine große sache würde das aber gerne richtig verstehen
und vorallem geht es mir um die
RICHTIGE UND SAUBERE FORM UND SCHREIBWEISE
ich zeig euch erst mal meine lösung
also
aufgabe:
[mm] n!\ge 2^{n-1}
[/mm]
Induktions Anfang
n=0
[mm] 0=!\ge 2^{-1}
[/mm]
[mm] 1\ge0,5 [/mm] also richtig!
n=1
[mm] 1!\ge2^{0}
[/mm]
[mm] \ge1 [/mm] also richtig!
wir gehen davon aus das für n=0 und n=1 das wahr ist
Induktions Schritt
zu zeigen ist [mm] (n)\to(n+1) [/mm] also [mm] (n+1)!\ge2^{n}
[/mm]
[mm] n!(n+1)\ge 2^{n-1}(n+1)
[/mm]
[mm] (n+1)!\ge2^2^{n-1} [/mm] (n+1)
so hier hab ich eine frage,
also ich hätte jetzt hier für das rot makierte n=1 eingesetzt aber halt nur für das rot makierte, dann würde das genze so aussehen
frage: geht denn das, dass ich nur für ein n n=1 einsetzte oder muß ich das für alle n machen?
also weiter
[mm] (n+1)!\ge2^{n-1}(1+1)
[/mm]
[mm] (n+1)!\ge2^{n-1}2^1
[/mm]
[mm] (n+1)!\ge2^{n-1+1}
[/mm]
[mm] (n+1)!\ge2^n [/mm] und das war zu zeigen!
bitte schaut nochmal drüber wegen der form und schreibweise
und bezüglich meiner frage wegen den einsetzen.
ach und müßte ich noch irgendwas dazu schreiben oder reicht das so aus es zu zeigen
Vielen Dank
gruß micha
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Hmh, etwas merkwürdig, das ganze.
Induktionsanker:
prinzipiell kein Problem ich würde hier allerdings n=1 nehmen, denn die 0 gehört normalerweise nicht unbedingt zu den natürlichen Zahlen.
Abgesehen von etwas Buchstabensalat hast du das aber gelöst.
Induktionsschritt:
Hier hast du irgendwas sehr merkwürdiges gemacht, vor allem die Zeile mit dem roten verstehe ich nicht. Danach kannst du nicht einfach n=1 einsetzen, denn das müßtest du ja für ALLE n machen. Ich würde es so machen:
Es wird davon ausgegangen, daß [mm] $n!\ge2^{n-1}$ [/mm] gilt, und wie du richtig sagst, es soll gezeigt werden, daß dann auch [mm] $(n+1)!\ge2^{n}$ [/mm] gilt. Anders: Du könntest zeigen, daß aus dem letzten auch das erste folgt
[mm] $(n+1)!\ge2^{n}$
[/mm]
[mm] $n!(n+1)\ge2*2^{n-1}$
[/mm]
Nun gilt sicherlich [mm] $(n+1)\ge2$ [/mm] für $n>0$, und [mm] $n!\ge2^{n-1}$ [/mm] soll ja auch gelten.
Damit ist der Beweis ja schon erbracht, den für a>b und c>d gilt sicherlich auch ac>bd, zumindest für natürliche Zahlen.
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Hallo Event_Horizon,
Eine kleine Meckerei hätt ich da.
Deine Taktik erstmal das hinzuschreiben was man zeigen soll ist zwar intuitiv richtig. Aber formal ist das Vorgehen von Micha richtiger. Erst schreibt man hin was man voraussetzen darf und schlußfolgert daraus was gezeigt werden soll.
[mm]n!\ge 2^{n-1}[/mm] /Multiplizieren mit (n+1)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]n!(n+1)\ge 2^{n-1}(n+1)[/mm] /Verkleinern von n+1 macht die Ungl. nicht falscher
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm](n+1)!\ge 2^{n-1}*2=2^n[/mm]
Bei Dir müßte man dann die Pfeile rückwärts setzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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