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| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion über [mm] \IN [/mm] die folgenden Gleichung
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{1}{2^{n+1}} -1} {\bruch{1}{2} -1} [/mm] $
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induktionsanfang habe ich schon fertig:
Induktionsschluss:
sei n [mm] \in \IN [/mm] und es gelte: $ [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{1}{2^{n+1}} -1} {\bruch{1}{2} -1} [/mm] $
z.Z.: $ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} \bruch{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{1}{2^{n+2}} -1} {\bruch{1}{2} -1} [/mm] $
P(n) ist das Prädikat
$ P(n+1) [mm] \gdw \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{2^{i}} [/mm] $
=> $ [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{ \bruch{1}{2^{n+1}} -1} {\bruch{1}{2} -1} [/mm] $
und jetzt das auflösen
fällt mir total schwer!
ich komme einfach nicht auf das was ich zeigen soll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallo wulfstone,
versuche es mal indem du bei
[mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{ \bruch{1}{2^{n+1}} -1} {\bruch{1}{2} -1}
[/mm]
beide Terme auf den gleichen Nenner bringst.
D.h. den linken Term um
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}-1}{\bruch{1}{2}-1} [/mm] erweitern.
Dann den Zähler des so neu enstandenen Terms ausmultiplizieren und dann hast du die Lösung schon fast dastehen.
Gruss,
Vertex
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