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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Do 21.10.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo ,
ich habe für eine Kurve viele werte gegeben, also z.B.
[mm] x1 = 0; y1 = -15
x2 = 0.0001 y2 = -15.0040083
x3 = 0.001 y2 = -15.008355
[/mm]
usw.
gibt es da ein verfahren, wo man näherungsweise oder besser exakt auf die Gleichung dieser Kurve, die von den punkten gegeben ist schließen kann?? und wo kann ich darüber was finden, wie das funktionert und so
lg steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Do 21.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo ratz!
Was für eine Funktion soll es denn sein, die durch diese drei Punkte verläuft? Eine Polynomfunktion? Oder an was hast du gedacht? Oder soll es eine Gerade sein, die "möglichst genau" die drei Punkte annähert (Stichwort: lineare Regression).
Wir müssten das schon genauer wissen, was du dir erhoffst...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Do 21.10.2004 | | Autor: | ratz |
ok das ist natürlich noch wichtig
ich möchte gern ein Polynom 2. grades durchlegen erstmal, also wenn ich mir meine gegebenen punkte aufzeichne kommt so eine ähnliche from raus wie eine Parabel, da denke ich wäre ein Polynom 2. grades ja erst mal sinnvoll
lg steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 21.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo ratz!
Das gesuchte Polynom zweiten Grades lautet:
$p(x) = -15 [mm] \cdot [/mm] (x-0.0001) [mm] \cdot [/mm] (x-0.001) - 15.0040083 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot(x-0.001) [/mm] - 15.008355 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] (x-0.0001)$.
Leider falsch, wird aber in der nächsten Antwort von Julius verbessert.
Jetzt habe ich folgende Aufgaben für dich:
1) Vergewissere dich, dass es sich tatsächlich um ein Polynom zweiten Grades handelt.
2) Plotte den Graphen und schaue, ob die Daten interpoliert werden.
3) Versuche das Prinzip zu verstehen (warum habe ich das Polynom gerade so gewählt?).
4) Wie würde ein Polynom $n$-ten Grades lauten, wenn man die $n+1$ Daten [mm] $(x_0,y_0),\, (x_1,y_1),\ldots, (x_n,y_n)$ [/mm] hätte?
Melde dich mal mit Ideen. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 21.10.2004 | | Autor: | ratz |
hat das einen tieferen sinn das gerade bei dem ersten wert zwei mal
der wert von x abgezogen wird und sonst nur einmal ???
$ p(x) = -15 [mm] \cdot [/mm] (x-0.0001) [mm] \cdot [/mm] (x-0.001) - 15.0040083 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot(x-0.001) [/mm] - 15.008355 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] (x-0.0001) $
und wenn ich jetzt ganz viele werte habe mach ich das dann immer so weiter: ??
$ p(x) = [mm] -y1\cdot [/mm] (x-x1) [mm] \cdot [/mm] (x-x1) - y2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot(x-x1) [/mm] - [mm] y3\cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] (x-x3) .... [mm] -yn\cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] (x-xn)$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo ratz!
> hat das einen tieferen sinn das gerade bei dem ersten wert
> zwei mal
> der wert von x abgezogen wird und sonst nur einmal ???
>
> [mm]p(x) = -15 \cdot (x-0.0001) \cdot (x-0.001) - 15.0040083 \cdot x \cdot(x-0.001) - 15.008355 \cdot x \cdot (x-0.0001)[/mm]
Nein, ansonsten wird ja sozusagen die $0$ abgezogen: Aber ich habe mich vertan dummerweise. Richtig muss das Polynom so lauten:
[mm]p(x) = -15 \cdot \frac{(x-0.0001) \cdot (x-0.001)}{(0-0.0001) \cdot (0-0.001)} - 15.0040083 \cdot \frac{(x-0) \cdot(x-0.001)}{(0.0001-0) \cdot (0.0001-0.001)} - 15.008355 \cdot \frac{(x-0) \cdot (x-0.0001)}{(0.001-0) \cdot (0.001-0.0001)}[/mm].
Dann setze mal die drei Werte ein und schaue was passiert. (Ist aber jetzt eh witzlos, da du ja schon gesehen hast, dass es sich um die Newtonsche Interpolationsformel handelt.)
Für beliebig viele endlich viele Wertepaare [mm] $(x_0,y_0),\, (x_1,y_1),\ldots, (x_n,y_n)$ [/mm] interpolierst du dann mittels
$p(x) = [mm] \sum\limits_{i=0}^n y_i \prod\limits_{{j=1} \atop {j \ne i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$.
[/mm]
Dadurch ist gewährleistet, dass es sich bei $p$ um ein Polynom vom Grad $n+1$ handelt. Weiterhin gilt
[mm] $p(x_i) [/mm] = [mm] y_i$, [/mm]
da das Einsetzen von [mm] $x_i$ [/mm] in den $j$-ten Summanden (für [mm] $j\ne [/mm] i$) gerade $0$ ergibt (dort steht ja [mm] $x-x_i$ [/mm] als einer der Faktoren im Zähler) und in den $i$-ten Summanden gerade [mm] $y_i$ [/mm] (da sich dort das Produkt zu $1$ wegkürzt).
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Fr 22.10.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo,
nun ich hab mal in bissle im Bronstein gestöbert und bin auf die Newtonsche Interpolationsformel gestoßen.
Irgendwie kann man aber in dieses Verfahren für ein Polynom 2. Grades mit 3 x,y paaren lösen. Was mach ich denn jetzt wenn ich ganz viele werte hab ist das dann automatisch ein polynom n ten grades , wobei n die anzahl meiner wertepaare ist ???
lg steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
(siehe mein anderer Beitrag)
