wärmeleitungsgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] u_t=2*u_{xx}+sin(2*x*PI/L)
[/mm]
randbedingungen
u(0,t)=0, u(L,t)=0
anfangsbedingung
u(x,0)=0 |
hallo leute,
hab folgendes problem...
eine wärmeleitungsgleichung
[mm] u_t=2*u_xx+sin(2*x*PI/L)
[/mm]
randbedingungen
u(0,t)=0, u(L,t)=0
anfangsbedingung
u(x,0)=0
ok ... ansatz für u(x,t) wäre u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) wobei v lösung der homogenen diffgleichung ist und w lösung der inhomogenen.
ich glaube aufgrund von u(x,0)=0 ist der homogene teil, also v(x,t)=0,
doch wieso? das versteh ich nicht, irgendwie wirkts naheliegend aber die begründung geht mir nicht in den kopf.
würd mich freuen wenn jemand helfen könnte,
lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=136066&start=0&lps=993384#v993384]
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also ich habs grad durchgerechnet, die lösung ist zwar
u[x, t] := [mm] L^2/(8 Pi^2)*Sin[2 [/mm] Pi*x/L]
und das ist die lösung der inhomogenen, also ich hoffe es ist richtig wenn ich
w_xx=-1/2*Sin(2PIx/L) gerechnet habe ... in die DG eingesetzt macht es Sinn.
aber was mich interessieren würde ist ob immer bei u(x,0)=0 bei inhomogenen DG der homogene Lösungsteil wegfällt?!
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Hallo mathestudent25,
> also ich habs grad durchgerechnet, die lösung ist zwar
> u[x, t] := [mm]L^2/(8 Pi^2)*Sin[2[/mm] Pi*x/L]
> und das ist die lösung der inhomogenen, also ich hoffe es
> ist richtig wenn ich
> w_xx=-1/2*Sin(2PIx/L) gerechnet habe ... in die DG
> eingesetzt macht es Sinn.
Mit dem Ansatz, der ![[]](/images/popup.gif) hier angewendet wurde, komme ich auf
[mm]u[x, t] := L^2/(8 Pi^2)*\blue{ \left(1-e^{-\bruch{8\pi^{2}}{L^{2}}*t}\right) } \sin\left(\bruch{2\pi}{L}*x\right)[/mm]
> aber was mich interessieren würde ist ob immer bei
> u(x,0)=0 bei inhomogenen DG der homogene Lösungsteil
> wegfällt?!
Die allgemeine Lösung der homogenen partiellen DGL lautet:
[mm]u_{h}\left(x,t\right)=\summe_{n=1}^{\infty}{C_{n}*\sin\left(\bruch{n*\pi}{L}*x\right)*e^{-2\bruch{n^{2}*\pi^{2}}{L^{2}}t}}[/mm]
Die Lösung erfüllt zunächst die Randbedingungen
[mm]u_{h}\left(0,t)=u_{h}\left(L,t\right)=0[/mm]
Um jetzt auch noch die Anfangsbedinung [mm]u_{h}\left(x,0\right)[/mm]
ins Spiel zu bringen, hat man zunächst:
[mm]u_{h}\left(x,0\right)=\summe_{n=1}^{\infty}{C_{n}*\sin\left(\bruch{n*\pi}{L}*x\right)*e^{-2\bruch{n^{2}*\pi^{2}}{L^{2}}*0}}=\summe_{n=1}^{\infty}{C_{n}*\sin\left(\bruch{n*\pi}{L}*x\right)}[/mm]
Hieraus ergeben sich die unbekannten Koeffizienten [mm]C_{n}[/mm] zu:
[mm]C_{n}=\bruch{2}{L}\integral_{0}^{L}{u_{h}\left(x,0\right)*\sin\left(\bruch{n*\pi}{L}*x\right) \ dx}[/mm]
Da [mm]u_{h}\left(x,0)=0[/mm] sind somit auch die unbekannten Koeffizienten [mm]C_{n}=0[/mm].
Daher lautet dann die homogene Lösung [mm]u_{h}\left(x,t\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
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$ u[x, t] := [mm] L^2/(8 Pi^2)\cdot{}\blue{ \left(1-e^{-\bruch{8\pi^{2}}{L^{2}}\cdot{}t}\right) } \sin\left(\bruch{2\pi}{L}\cdot{}x\right) [/mm] $
aber wie kommst du auf diese e-funktion die von t abhängt in der lösung ?
ich hab das mit der anleitung gelöst und bin da nicht auf den blauen text von dir in der lösung gekommen ...
http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/numerik/LPD2OLoesungsmethoden.pdf
klingt einleuchtend das mit der homogenen gleichung, aber heisst das nun dass stets bei u(x,0)=0 der homogene teil wegfällt?
vielen dank dass du dir zeit genommen hast!
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Hallo mathestudent25,
> [mm]u[x, t] := L^2/(8 Pi^2)\cdot{}\blue{ \left(1-e^{-\bruch{8\pi^{2}}{L^{2}}\cdot{}t}\right) } \sin\left(\bruch{2\pi}{L}\cdot{}x\right)[/mm]
>
> aber wie kommst du auf diese e-funktion die von t abhängt
> in der lösung ?
>
> ich hab das mit der anleitung gelöst und bin da nicht auf
> den blauen text von dir in der lösung gekommen ...
> http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/numerik/LPD2OLoesungsmethoden.pdf
Am Ende der Seite 36 steht im SKript die Lösungsformel
für die inhomogenen partielle DGL.
Dort steht unter anderem
[mm]\integral_{0}^{t}{ \ e^{\alpha*\left(t-\tau\right)}*g\left(x\right) \ d\tau}[/mm]
Die Integration der e-Funktion ergibt den blauen Teil in meiner Lösung.
>
> klingt einleuchtend das mit der homogenen gleichung, aber
> heisst das nun dass stets bei u(x,0)=0 der homogene teil
> wegfällt?
>
> vielen dank dass du dir zeit genommen hast!
>
>
Gruss
MathePower
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ja stimmt aber ich nahm an ich könnte das so machen wie davor wo die störfunktion nur von x abhängt ... naja ... haut net so hin wie beim beispiel ...
dir trotzdem vielen lieben dank!
lg
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Hallo Mathestudent25,
> [mm]u_t=2*u_{xx}+sin(2*x*PI/L)[/mm]
> randbedingungen
> u(0,t)=0, u(L,t)=0
> anfangsbedingung
> u(x,0)=0
> hallo leute,
>
> hab folgendes problem...
> eine wärmeleitungsgleichung
> [mm]u_t=2*u_xx+sin(2*x*PI/L)[/mm]
> randbedingungen
> u(0,t)=0, u(L,t)=0
> anfangsbedingung
> u(x,0)=0
>
> ok ... ansatz für u(x,t) wäre u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) wobei
> v lösung der homogenen diffgleichung ist und w lösung der
> inhomogenen.
> ich glaube aufgrund von u(x,0)=0 ist der homogene teil,
> also v(x,t)=0,
> doch wieso? das versteh ich nicht, irgendwie wirkts
> naheliegend aber die begründung geht mir nicht in den
> kopf.
Siehe dazu hier.
>
> würd mich freuen wenn jemand helfen könnte,
>
> lg
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=136066&start=0&lps=993384#v993384]
Gruss
MathePower
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