wann ist funktion diffbar? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Wann ist eine Funktion wie zB diese hier diffbar?
f(x) = $ [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}} [/mm] $ |
Wie überprüft man das allgemein? Muss ich wegen dem Betrag immer Fallunterscheidung machen? Wie überprüfe ich auf das Stetigkeitsverhalten?
dank und lg
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Hallo mwieland,
> Wann ist eine Funktion wie zB diese hier diffbar?
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> f(x) = [mm]\bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}}[/mm]
> Wie überprüft
> man das allgemein? Muss ich wegen dem Betrag immer
> Fallunterscheidung machen?
Jo, für [mm]x-2>0[/mm] und [mm]x-2<0[/mm] hast du einen Quotienten aus diffbaren Funktionen, das ist also in diesen Fällen diffbar.
Allein die Nahtstelle [mm]x=2[/mm] ist kritisch.
Untersuche dort auf Diffbarkeit!
> Wie überprüfe ich auf das
> Stetigkeitsverhalten?
Es ist wieder allein die Stelle $x=2$ kritisch:
Untersuche, ob links- und rechtsseitiger Limes [mm]\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)[/mm] und [mm]\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)[/mm] existieren und übereinstimmen.
>
> dank und lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke, hab ich soweit verstanden, nur wie untersuche ich auf diffbar-keit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
und wie komme ich darauf dass an der stelle x=2 es möglicherweise unstetig bzw. undiffbar sein könnte? ist das deswegen, weil dann in der e-fkt e^^{0} stehen würde oder?
lg markus
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[mm]
\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\
1, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> und wie komme ich darauf dass an der stelle x=2 es
> möglicherweise unstetig bzw. undiffbar sein könnte? ist
> das deswegen, weil dann in der e-fkt e^^{0} stehen würde
> oder?
Hallo,
es ist, weil Deine Funktion f(x) = [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}} [/mm] abschnittweise definiert ist.
Es ist doch
f(x) = [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}} [/mm]=[mm]\begin{cases} \bruch{x^{2}+1}{e^{ x-2 }}, & \mbox{fuer } x-2\ge 0 \\
\bruch{x^{2}+1}{e^{ -x+2 }}, & \mbox{fuer } x-2<0 \end{cases}[/mm]
Der rechte Ast ist für sich genommen völlig ungefährlich, denn wir haben es hier mit einem Quotienten stetiger Funktionen zu tun. Gelernt hast Du, daß Quotienten stetiger Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind. Alles in Butter also.
Ebenso der linke Ast.
Kriminell ist aber die Stelle, an welcher die beiden Äste Deiner Funktion f zusammenstoßen, die Nahtstelle x=2.
Hier könnte ja ein Versatz sein, wie etwa bei
[mm]g(x):=\begin{cases} x+3, & \mbox{fuer } x\ge 0 \\
x-5, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm].
Daß Deine beiden Funktionsäste an der "Nahtstelle" aneinanderpassen, mußt Du prüfen.
Gruß v. Angela
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Hallo mwieland!
> nur wie untersuche ich auf diffbar-keit?
Indem Du den Differentialquotienten an der entsprechenden Stelle untersuchst.
Wenn dieser Grenzwert (eindeutig) existiert ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke vielmals euch allen ;)
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