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| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,2\pi] \to \IC \gamma(t)=2e^{it}
[/mm]
berechne [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{x^{2}-1}dx} [/mm] |
Abend!
Nun ich bin schon so weit:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{x^{2}-1}dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{(2e^{it})^{2}-1} * 2ie^{it}dx} [/mm] = [mm] \bruch{i}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2e^{it}-1}dx} [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2e^{it}+1}dx}
[/mm]
Kann ich nun weiterrechnen? Ich bin eben noch etwas unsicher im Komplexen..
= [mm] \bruch{i}{2}(log(2e^{it}-1)|_{0}^{2\pi}) [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}(log(2e^{it}+1)|_{0}^{2\pi}) [/mm]
Habe irgendwie das Gefühl, das ich da etwas auf dem Holzweg bin.. Wäre froh um einen Tipp...
Vielen lieben Dank, grenzwert =)
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Oje.. Die Aufgabe geht mir gerade so auf den Keks.. =)
Also ich weiss leider immer noch nicht, wie ich von meiner vorläufigen Ausgangslage:
[mm] \bruch{i}{2}(\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2e^{it}-1}dt}+\integral{0}{2\pi}{\bruch{1}{2e^{it}+1}dt}
[/mm]
weiterkomme..
Aus dem Reellen würde ich jetzt an den logarithmus denken, doch eben im Komplexen werde ich diesen Ansatz schnell wieder vergessen.. Nun habe ich was gelesen vom Cauchyschen Integralsatz.
Also G muss ein Sterngebiet sein, was erfüllt ist, da es eine Kreisscheibe ist von Radius 2 um c=0. Oder?
Dann ist [mm] \gamma(t) [/mm] auch ein geschlossener Weg, also Kann ich sagen, dass die Integrale gleich Null sind?
Nur das könnte ich ja dann schon zu Beginn, nicht? und die Aufgabe würde sich erübrigen.. Deswegen bin ich mehr als skeptisch.. =)
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann..
Vielen lieben Dank, Grenzwert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Di 20.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aus dem Reellen würde ich jetzt an den logarithmus denken,
> doch eben im Komplexen werde ich diesen Ansatz schnell
> wieder vergessen.. Nun habe ich was gelesen vom Cauchyschen
> Integralsatz.
> Also G muss ein Sterngebiet sein, was erfüllt ist, da es
> eine Kreisscheibe ist von Radius 2 um c=0. Oder?
Die Voraussetzungen sind etwas anders. der Integrand muss in einem Sterngebiet holomorph sein. Wenn eine geschlossene Kurve ganz in dem Sterngebiet liegt, dann ist das Integral entlang dieser Kurve 0.
> Dann ist [mm]\gamma(t)[/mm] auch ein geschlossener Weg, also Kann
> ich sagen, dass die Integrale gleich Null sind?
Nein, weil der Integrand [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm] nicht holomorph ist; er hat je eine Singularität bei [mm]\pm 1[/mm].
Du kannst den Residuensatz anwenden, damit lässt sich das Integral sehr einfach ausrechnen.
Es kommt tatsächlich 0 heraus, aber das kannst du nicht aus dem Cauchyschen Integralsatz folgern.
Viele Grüße
Rainer
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bis auf eine Kleinigkeit: da muss dt statt dx stehen!
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