welche der folgenden Abbildungen sind linear??? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Fr 04.06.2004 | | Autor: | mausi |
Entscheide und begründe welche der folgenden Abbildungen linear sind
a) [mm] f_1:\IR \to \IR^3, f_1(a):=(a,a^2,a^3)
[/mm]
bitte mal an dem Beispiel erklären,wie man das macht und ich versuch mich dann an b-d
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> Entscheide und begründe welche der folgenden Abbildungen
> linear sind
> a) [mm] f_1:\IR \to \IR^3, f_1(a):=(a,a^2,a^3)
[/mm]
> bitte mal an dem Beispiel erklären,wie man das macht und
Dazu muss man nur wissen, was denn die Linearität bedeutet.
Man könnte das an einer Formel zeigen, aber für diese Zwecke ist die Aufteilung in zwei Teile zweckmässiger:
Eine Funktion $f(x)$ ist linear, wenn gilt
I) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle $x$ und $y$
II) [mm] $f(\lambda [/mm] * [mm] x)=\lambda [/mm] *f(x)$ (Ebenfalls für alle Werte)
Du musst also nur überprüfen, ob beide Bedingungen für Linearität erfüllt sind.
Mit deinem Beispiel: Es müsste gelten:
$f(a+b)=f(a)+f(b)$, also:
[mm] $((a+b),(a+b)^2,(a+b)^3)=(a,a^2,a^3) [/mm] + [mm] (b,b^2,b^3)$
[/mm]
Das ist aber offensichtlich nicht für alle denkbaren Werte $a$ und $b$ erfüllt, $f$ ist somit nicht linear!
Noch einfacher wäre es wohl gegangen, wenn man Regel II) überprüft hätte:
[mm] $f(\lambda a=\lambda [/mm] *f(a)$, also:
[mm] $(\lambda a,\lambda{^2}a^2,\lambda{^3}a^3) [/mm] = [mm] \lambda(a,a^2,a^3)$
[/mm]
Auch diese Gleichung ist offensichtlich nicht für alle erdenklichen Werte für $a$ und [mm] $\lambda$ [/mm] erfüllt, womit schon Regel II) alleine bewiesen hätte, dass $f$ nicht linear ist! 
So, liebe mausi (hübscher Nickname), ich hoffe, dass du jetzt für die weiteren Aufgaben keine Probleme mehr hast!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 Sa 05.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
b) [mm] f_2:\IR[X]_\le_3 \to \IR[X]_\le_2 f_2(g):=g'(X) [/mm] - 2g(1)
ojeeeh und schon hänge ich fest...
Ah hier steht noch
[mm] \IR[X]_\le_k [/mm] steht für den Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] k
muss ich da jetzt genauso ran gehen???Oder was hat es mit den Polynomen auf sich???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> Danke Paulus
> b) [mm] $f_2:\IR[X]_\le_3 \to \IR[X]_\le_2$ $f_2(g):=g'(X) [/mm] - 2g(1)$
>
> ojeeeh und schon hänge ich fest...
> Ah hier steht noch
> [mm] \IR[X]_\le_k [/mm] steht für den Vektorraum aller Polynome vom
> Grad [mm] \le [/mm] k
> muss ich da jetzt genauso ran gehen???Oder was hat es mit
> den Polynomen auf sich???
Ja, natürlich, genauso ran gehen. Einfach stur die Linearitätsbedingungen überprüfen.
Zur Erläuterung:
Deine Abbildung [mm] f_2 [/mm] ordnet einer Funktion g eine andere Funktion zu.
Und zwar wird hier einem Polynom g (das maximal Grad 3 hat) ein anderes Polynom zugeordnet.
Ein Beispiel:
Das Polynom [mm] g(X)=4X^3-4X+5 [/mm] wird abgebildet auf [mm] g'(X)-2g(1)=12X^2-4-2*(4-4+5)=12X^2-14, [/mm] also [mm] f_2(4X^3-4X+5)=12X^2-14.
[/mm]
Ich schlage vor, du überlegst dir zunächst folgendes:
a) Wie sieht allgemein ein Polynom g aus, dass in der Menge [mm] $\IR[X]_{\le3}$ [/mm] liegt?
b) Auf welches Polynom wird g abgebildet?
c) Wie lauten die Linearitätsbedinungen und sind sie erfüllt?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 05.06.2004 | | Autor: | mausi |
Kann ich mir einfach ein Polynom z.B. 3. Grades nehmen,ableiten bzw. für [mm] f_2 [/mm] eine Gleichung erstellen und dann,das was Paulus für [mm] f_1 [/mm] gemacht hat,testen????Und gilt das dann auch für alle werte???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
so, da bin ich wieder. Ich war für meinen Verein im Einsatz. 6:0 verloren! ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
> Kann ich mir einfach ein Polynom z.B. 3. Grades
> nehmen,ableiten bzw. für [mm] f_2 [/mm] eine Gleichung erstellen und
> dann,das was Paulus für [mm] f_1 [/mm] gemacht hat,testen????Und gilt
> das dann auch für alle werte???
>
Nein, wenn du das an einen einzigen Beispiel zeigst, gilt das nicht automatisch für alle Werte! Ein Beispiel ist nur gut, um eine gewisse Aussage zu widerlegen, wenn man sie aber beweisen sollte, dann genügt das nicht!
Aber das Beispiel hilft dir, überhaupt zu verstehen, was denn [mm] $f_2$ [/mm] überhaupt macht. Na ja, Marc hat ja auch schon ein Beispiel gegeben.
Nein, du solltest allgemein vorgehen:
Berechne einfach ganz formal, z.B. für die Prüfung meines 1. Gesetzes, zuerst die linke Seite, und dann die rechte Seite, und dann vergleichst du, ob beides Mal das Gleiche herausgekommen ist:
Das Gesetz lautete ja:
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
Für deine Funktion zum Beispiel:
[mm] $f_{2}(g+h)=f_{2}(g)+_{2}(h)$
[/mm]
Linke Seite:
[mm] $f_{2}(g+h)=(g+h)'-2(g+h)(1)$
[/mm]
Dies ist ja die Definition von [mm] $f_{2}$
[/mm]
..und jetzt mit den Regeln, die du über das Ableiten kennst:
$(g+h)'=g'+h'$
und mit dem, was du über Summenbildung von Funktionen weisst:
$2(g+h)(1)=2g(1)+2h(1)$
Damit lässt es sich weiterrechnen:
[mm] $f_{2}(g+h)=(g+h)'-2(g+h)(1)=g'+h'-2g(1)-2h(1)=g'-2g(1)+h'-2h(1)$
[/mm]
Das ist also das Ergebnis der linken Seite.
Und jetzt die rechte Seite:
[mm] $f_{2}(g) [/mm] + [mm] f_{2}(h) [/mm] = g'-2g(1)+h'-2h(1)$
Und wenn du das vergleichst mit dem Resultat der linken Seite, dann stellst du vollständige Uebereinstimmung fest!
Jetzt muss aber noch die 2. Bedingung überprüft werden:
(Hinweis: hätte bereits diese Regel versagt, wäre ein Ueberprüfen der 2. Regel im Prinzip nicht mehr nötig. Weil aber die Aufgabe verlangt, dass du eine Begründung liefern sollt, könnte man das auch noch tun)
Ist [mm] $f_{2}(\lambda [/mm] x))= [mm] \lambda f_{2}(x)$ [/mm] ?
Auch hier berechnest du links und auch rechts und vergleichst.
Kannst du das mal versuchen, und deine Berechnung hier präsentiern?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 05.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus du hilfst mir sehr viel
[mm] f_{2}(\lambda g))= \lambda f_{2}(g) [/mm]
linke Seite
[mm] f_{2}(\lambda g))=\lambda(g'(X)-2g(1)) [/mm]
= [mm] \lambda g'(X)-2\lambda g(1)[/mm]
so ungefähr???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 So 06.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke
c) sieht so aus
[mm] f_3:Mat(3,3;\IR)\to \IR,f_3 \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix}:=a_1_1 [/mm] + [mm] a_2_2 [/mm] + [mm] a_3_3 [/mm]
wie muss ich das denn hier machen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 So 06.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ganz genau gleich, natürlich.
[mm] $f_3$ [/mm] summiert ja einfach die Diagonalelemente der gegebenen Matrix. (die Summe der Diagonalelemente einer Matrix heisst übrigens: die Spur der Matrix. Aehnliche Matrizen haben die gleiche Spur)
Jetzt musst du doch einfach überprüfen, ob die Spur von [mm] ($M_{1}+M_{2}$) [/mm] das Gleiche ist wie die Spur von [mm] $M_1$ [/mm] plus die Spur von [mm] $M_2$.
[/mm]
Ebenfalls, ob die Spur von [mm] $\lambda [/mm] M$ das Gleiche ist wie [mm] $\lambda$ [/mm] mal die Spur von $M$.
Weisst du denn, wie 2 Matrizen addiert werden? Und weisst du auch, wie sich [mm] $\lambda [/mm] * M$ berechnet?
Mie lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 06.06.2004 | | Autor: | mausi |
also
[mm] f_3(a [/mm] + b) = f(a) + f(b)
[mm] f_3\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_2_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}
b_1_1 & b_1_2 & b_1_3 \\
b_2_1 & b_2_2 & b_2_3 \\
b_2_1 & b_3_2 & b_3_3
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
a_1_1 + b_1_1 & a_1_2 + b_1_2 & a_1_3 + b_1_3 \\
a_2_1 + b_2_1 & a_2_2 + b_2_2 & a_2_3 + b_2_3 \\
a_2_1 + b_3_1 & a_3_2 + b_3_2 & a_3_3 +b_3_3
\end{pmatrix}
[/mm]
so??? und bei der echten seite???
[mm] (a_1_1 [/mm] + [mm] a_2_2 [/mm] + [mm] a_3_3)+(b_1_1 [/mm] + [mm] b_2_2 [/mm] + [mm] b_3_3)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Di 08.06.2004 | | Autor: | mausi |
gut Paulus,dann mache ich das mal...
rechte Seite
[mm] \lambda \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\lambda a_1_1 & \lambda a_1_2 & \lambda a_1_3 \\
\lambda a_2_1 & \lambda a_2_2 & \lambda a_2_3 \\
\lambda a_3_1 & \lambda a_3_2 & \lambda a_3_3
\end{pmatrix}= f_3(\lambda [/mm] A)
linke Seite
[mm] \lambda(a_1_1 [/mm] + [mm] a_2_2 [/mm] + [mm] a_3_3)= \lambda a_1_1 [/mm] + [mm] \lambda a_2_2 [/mm] + [mm] \lambda a_3_3 [/mm] = [mm] \lambda f_3(A)
[/mm]
[mm] \to f_3 [/mm] ist linear stimmts???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Di 08.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
so nu noch die letzte
[mm] f_4:\IR^3 \to \IR^4,f_4(x_1,x_2,x_3):=(x_1+2x_3,1,0,x_2)
[/mm]
wie geht das denn bitte hier????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 08.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
so langsam, langsam hast du bald alle Aufgaben durch mich lösen lassen 
Das geht natürlich nur, weil mich dein hübscher Nickname betört!
Also mal Axiom I)
zu überprüfen ist:
$f(x+y) = f(x) + f(y)$
Für unsere Funktion [mm] $f_4$:
[/mm]
[mm] $f_4((x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3))=f_4((x_1,x_2,x_3))+f_4((y_1,y_2,y_3))$
[/mm]
Ich lasse dabei die doppelten Klammern absichtlich stehen, um anzudeuten, dass das Funktions-Argument ein Vektor ist.
Jetzt behandeln wir mal die linke Seite:
Zuerst berechne ich das Argument der Funktion:
[mm] $(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$
[/mm]
[mm] $f_4$ [/mm] macht das Folgende:
Die 1. Komponente des Bildvektors ist die Summe der 1. Kompoonent und 2 mal der 3. Komponente des Urbildes.
Die 2. Komponente des Bildvektors erhält den konstanten Wert $1$.
Die 3. Komponente des Bildvektors erhält den konstanten Wert $0$.
Die 4. Komponente des Bildvektors ist die 2. Komponente des Urbildes.
Dies kann man also einfach stur einsetzen:
[mm] $f_4((x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3))=(x_1+y_1+2*x_3+2*y_3,1,0,x_2+y_2)$
[/mm]
Das ist also das Funktionsergebnis, wenn ich es à la linke Seite berechne.
Und jetzt nach Art der rechten Seite:
Zu berechnen ist:
[mm] $f_4((x_1,x_2,x_3))+f_4((y_1,y_2,y_3))$
[/mm]
Gemäss Definition der Funktion, wie ich sie in einen Text übersetzt habe:
[mm] $(x_1+2*x_3,1,0,x_2) [/mm] + [mm] (y_1+2*y_3,1,0,y_2)$
[/mm]
Dies kann gemäss den Regeln für Vektoradditionen noch zusammengefasst werden zu (komponentenweise addieren):
[mm] $(x_1+y_1+2*x_3+2*y_3,2,0,x_2+y_2)$
[/mm]
So, das Ergebnis der Berechnung à la rechte Seite liegt nun auch vor!
Und nun vergleiche ich die beiden Ergebnisse, ich frage mich also: gilt die folgende Gleichung?:
[mm] $(x_1+y_1+2*x_3+2*y_3,1,0,x_2+y_2)=(x_1+y_1+2*x_3+2*y_3,2,0,x_2+y_2)$
[/mm]
Ich denke, ein kurzer Blick auf die 2. Komponente genügt, um festzustellen, dass die Gleichung nicht erfüllt ist.
[mm] $f_4$ [/mm] ist somit nicht linear, womit sich die Ueberprüfung für das Axiom II) eigentlich erübrigt. Ich schlage dir aber trotzdem vor, zur Uebung das auch noch zu machen und mir deine Rechenschritte zu zeigen.
Mit lieben Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 08.06.2004 | | Autor: | mausi |
Vielen herzlichen Dank Paulus,alleine komme ich immer schlecht drauf aber wenn ich dann den Rechenweg sehe erscheint er mir logisch.Die Übungen machen wir freiwillig zum abgeben und ich sammle sie dann damit ich mir das dann noch vor der Prüfung angucken kann.
mfg mausi
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![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
