wert von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe den Wert der folgenden Reihen:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{3^{k-1}} [/mm] |
will mir jemand vorm bettgehn noch schnell ein richtig (oder ein falsch) ;) sagen?!?!
fänd ich super :D
1. ich schaue ob die reihe konvergiert, dazu sage ich, q sei das verhältnis 2er benachbarter glieder (das größere zum kleineren), was bei allen gliedern gleich ist.
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{3^{k-1}}= \bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}+............
[/mm]
verhältnis:
[mm] \bruch{\bruch{1}{9}}{\bruch{1}{27}}= \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}<1 [/mm] -> hinreichendes Konvergenzkrieterium für Konvergenz bei geometrischen reihen.
der wert ergibt sich (?) aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2}^{n} a_{0}q^{n} [/mm]
[dabei ist [mm] a_{0} [/mm] das erste folgenglied]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2}^{n} a_{0} \bruch{1-q^_{n+1}}{1-q} =\bruch{a_{0}}{1-q}
[/mm]
also auf meine aufgabe bezogen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{6}}=\bruch{6}{15}
[/mm]
das ist also der wert? oder rechne ich hier etwas ganz anderes :P
(danke für die mathematischen lachtlichter :) )
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> Berechnen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe den Wert
> der folgenden Reihen:
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{3^{k-1}}[/mm]
> will mir jemand
> vorm bettgehn noch schnell ein richtig (oder ein falsch) ;)
> sagen?!?!
> fänd ich super :D
>
> 1. ich schaue ob die reihe konvergiert, dazu sage ich, q
> sei das verhältnis 2er benachbarter glieder (das größere
> zum kleineren), was bei allen gliedern gleich ist.
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{3^{k-1}}= \bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}+............[/mm]
>
> verhältnis:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{9}}{\bruch{1}{27}}= \bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}<1[/mm] -> hinreichendes Konvergenzkrieterium für
> Konvergenz bei geometrischen reihen.
>
> der wert ergibt sich (?) aus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2}^{n} a_{0}q^{n}[/mm]
> [dabei ist [mm]a_{0}[/mm] das erste folgenglied]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2}^{n} a_{0} \bruch{1-q^_{n+1}}{1-q} =\bruch{a_{0}}{1-q}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also auf meine aufgabe bezogen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{6}}=\bruch{6}{15}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst du jetzt auf Sechstel, wenn du vorher Drittel hattest?
> das ist also der wert? oder rechne ich hier etwas ganz
> anderes :P
> (danke für die mathematischen lachtlichter :) )
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Hallo suxul,
Dein Weg sieht ein bisschen kraus aus. Das Quotientenkriterium ist richtig angewendet, nur die Summenformel für geometrische Reihen ist undurchsichtig eingesetzt, immerhin aber mit dem richtigen Ergebnis.
Und in der Tat kommt dann heraus: [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{1-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Nur ist das nicht [mm] \tfrac{1}{6}.
[/mm]
Führ doch mal vor, wie Du das umgeformt hast. Dort irgendwo liegt der Fehler.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
eieiei... ja ist mir beim aufschreiben grad aufgefallen!
es muss natürlich =3/6 =1/2 sein :( *schäm*
und zu der herleitung der summenformel... da wir im skript wirklich nichts dazu aufgeschrieben hatten und man ja wieder punkte abgezogen bekommt wenn man was nicht bewiesenes hernimmt (wär ja nich so schlimm wenn die übungen nicht zur prüfung dazuzählen würde...), habe ich die herleitung jetz von dieser seite hier http://wapedia.mobi/de/Geometrische_Reihe
übernommen und werds eifach mitabgeben :)
ist doch sicher ok oder? (da stehts wenigstens so dass ichs auch versteh^^)
ihr seid unierfahrener... was meint ihr XD
ganz liebe grüße :)
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Hallo nochmal,
da die Aufgabe doch ausdrücklich dazu auffordert "mit Hilfe der geometrischen Reihe" zu arbeiten, darfst Du die Summenformel sicher ganz ohne Herleitung verwenden.
Allerdings gilt die ja für die Summierung (also: Reihe) einer solchen Folge:
[mm] a_0, qa_0, q^2a_0, q^3a_0 [/mm] ...
Dann ist [mm] \summe_{k=0}^n a_k=\summe_{k=0}^n a_0*q^k=a_0\summe_{k=0}^n q^k=a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Je nachdem, wo die Indexvariable beginnt, sieht die Formel entsprechend ein bisschen anders aus. Da vertut man sich sehr leicht. Such Dir also eine bestimmte Darstellungsform der Summenformel aus und merk Dir nur diese, samt der genauen Summe, die sie darstellen soll. Aus dieser einen Form ist jede andere leicht herzuleiten, aber dann weißt Du wenigstens eine davon sicher.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
ah ok :)
aber wenn ich mir zb diese aufgabe ansehe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)1{k}}{4^{k+1}}
[/mm]
-> = 1/4, (-3)/16, 9/64, (-27)/196
also eine alternierende reihe die zwischen positiven und negativen werten hin und her springt und für mein verhältnis q folgendes ergibt:
[mm] \bruch{\bruch{-3}{16}}{\bruch{1}{4}}= \bruch{-64}{3}
[/mm]
mein betrag von q ist größer als 1. heißt doch dass die geometrische reihe nicht konvergiert oder?
da kann ich doch mit der summenformel auch kein ergebnis ausrechnen oder doch???
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Hallo suxul,
> ah ok :)
>
> aber wenn ich mir zb diese aufgabe ansehe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^{k}}{4^{k+1}}[/mm]
>
> -> = 1/4, (-3)/16, 9/64, (-27)/196
>
> also eine alternierende reihe die zwischen positiven und
> negativen werten hin und her springt und für mein
> verhältnis q folgendes ergibt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{-3}{16}}{\bruch{1}{4}}= \bruch{-64}{3}[/mm]
>
> mein betrag von q ist größer als 1. heißt doch dass die
> geometrische reihe nicht konvergiert oder?
> da kann ich doch mit der summenformel auch kein ergebnis
> ausrechnen oder doch???
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") was machst du denn da?
Es ist doch ganz offensichtlich [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-3)^k}{4^{k+1}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-3)^k}{4\cdot{}4^k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot{}\left(-\frac{3}{4}\right)^k=\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^k$
[/mm]
Und [mm] $\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1$, [/mm] also gem. Formel für die geom. Reihe:
[mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^k=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{1}{7}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
ufff... da war die erste wohl eher mit glück als mit verstand gelöst^^ aber jetzt hab ichs glaub ich verstanden! ich werd gleich noch eine probiern :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
also mal ganz ausführlich^^
beispielaufgabe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}+\bruch{(-1)^{k}}{3^{k}}
[/mm]
daraus kann ich jetzt die neue folge [mm] s_{n} [/mm] mahen:
[mm] s_{n}= \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{2^{k}}+\bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} [/mm] = [mm] (\summe_{k=0}^{0} \bruch{1}{2^{k}}+\bruch{(-1)^{k}}{3^{k}},\summe_{k=0}^{1} \bruch{1}{2^{k}}+\bruch{(-1)^{k}}{3^{k}},\summe_{k=0}^{2} \bruch{1}{2^{k}}+\bruch{(-1)^{k}}{3^{k}}...)= [/mm] (2, [mm] 2+(\bruch{1}{6}, 2+(\bruch{1}{6}+\bruch{13}{36},....)
[/mm]
in der letzten aufgabe wurde ja der bruch nur so umgeformt, dass das anfangsglied vor das summenzeichen geschrieben werden konnte. mein q definiert als [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] stand dann schon als [mm] q^{k} [/mm] da.
aber hier bei dieser aufgabe das anfangsglied vor die summe zu bekommen ist mir nicht gelungen.
kann man q jetzt nicht einfach seiner def. zufolge berechnen, dh.:
[mm] \bruch{2+\bruch{1}{6}}{2}= \bruch{6}{26}=\bruch{1}{13}
[/mm]
dann:
[mm] s_{n}= [/mm] 2 [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{13}^{k}
[/mm]
????????????????
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Hallo suxul,
so klappt das noch nicht.
Teil doch einfach die Summe in zwei Summen auf, dann hast Du zwei geometrische Reihen zu berechnen, eine alternierende und eine nicht alternierende. Das geht hier deswegen, weil die beiden neuen Summen jeweils für sich genommen konvergent sind.
lg
reverend
PS: ich habe übrigens den Eindruck, dass Du lieber erstmal Bruchrechnung repetieren solltest, vor allem Doppelbrüche. Nimm's nicht krumm, aber an solchem Handwerkszeug sollte es doch nicht scheitern. Dein eigentliches Thema ist doch viel komplizierter...
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