wie viele Zustände? < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 11.03.2007 | | Autor: | spiralix |
Hallo,
ich hätte da ein Frage mit der ich mich jetzt schon seit Tagen herumplage und nicht auf eine gescheite Lösung komme:
Ich habe eine 3x3 Matrix und möchte in den 9 Feldern jeweils zufällig verteilt genau dreimal die 1, dreimal die 2 und dreimal die 3 stehen haben.
(zur Erklärung: soll ein Rätsel sein, bei dem es dann Ziel ist, spalten oder zeilenweise eine Ordnung herzustellen, mit ausschließlich einsen, zweien, dreien in einer Zeile oder Spalte. Bedingung ist das nur direkt benachbarte Felder getauscht werden dürfen. -> aber das nur am Rande)
Mein Problem lautet nun folgendermaßen:
Wie viele mögliche Zustände gibt es für die 3x3 Matrix, mit drei einsen, drei zweien und drei dreien??
ich habe dann die Formeln mit/ohne zurücklegen und mit/ohne reihenfolge zu rate gezogen, aber bin dann zum Entschluss gekommen, dass davon doch keine passt, weil ich ja genau drei 1en, drei 2en und drei 3en in der Matrix haben will, nicht mehr und nicht weniger!
als letzten Lösungsversuch habe ich dann 3!*9! gewählt, aber das schent mir doch ein wenig zu willkürlich, oder?!
Würde mich sehr über Antworten freuen!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 11.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke Du hast 9! Möglichkeiten.
Beim ersten Verteilen hast Du 9 Möglichkeiten, danach noch 8 usw. Insgesamt ergeben sich [mm] 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=9! [/mm] Möglichkeiten.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 11.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo spiralix,
ich widerspreche ullim nur ungern, aber die von ihm genannte Anzahl ist meiner Meinung nach zu gross. Du musst bedenken, dass bei den $9!=362880$ Anordnungen beispielsweise die Einsen auf $3!$ Weisen angeordnet werden, wobei jede dieser Anordnungen zum selben Ergebnis fuehrt. Beispiel: Bei den $9!$ Anordnungen kann eine Eins an der Position 3,5 und 8 stehen, wobei die Zellen der Matrix (zeilenweise) mit Positionen 1,2,...,9 identifiziert werden. Wenn du zwischen den drei Einsen unterscheidest, also [mm] $1_1$, $1_2$ [/mm] und [mm] $1_3$ [/mm] betrachtest, so hast du $3!$ Moeglichkeiten, die Positionen 3,5 und 8 mit den Einsen zu besetzen. Fuer die gesuchte Anzahl sind aber diese Anordnungen irrelevant. Die gesuchte Anzahl ist also [mm] $9!/(3!)^3= [/mm] 45360$.
Man kann die Aufgabe auch so loesen: Auf wieviel Weisen kann ich die 9 Kugeln (die 9 Positionen) auf drei Kaesten verteilen, mit jeweils einem Fassungsvermoegen von 3 Kugeln (Benennung mit Zahlen 1, 2, oder 3). Die Loesung ist der Multinomialkoeffizient [mm] ${9\choose 3,3,3}=9!/(3!\times 3!\times [/mm] 3!)= 45360$.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 11.03.2007 | | Autor: | spiralix |
Vielen dank für die Hilfe! Das scheint mir ja eine realistische und vor allem richtige Lösung zu sein.
gruß
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Luis52 hat völlig recht. Es gibt eine noch verständlichere Erklärung, wenn du "Ziehung von k aus n ohne Zurücklegen, Reihenfolge beliebig" betrachtest:
Zuerst wählst du von den 9 Kästchen 3 für die 1-en aus. Hierzu hast du [mm] \vektor{9 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten. Danach wählst du von den restlichen 6 Feldern 3 für die 2-en aus. Hierfür hast du [mm] \vektor{6\\3} [/mm] Möglichkeiten. Die restlichen Felder sind für die 3-en. Hierfür gibt es dann nur noch eine Möglichkeit (oder, wenn du so willst, [mm] \vektor{3 \\ 3}=1 [/mm] Möglichkeiten).
Du erhältst [mm] \vektor{9 \\ 3}*\vektor{6 \\ 3}= \bruch{9!}{6!3!}*\bruch{6!}{3!3!}=\bruch{9!}{3!3!3!} [/mm] Möglichkeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 12.03.2007 | | Autor: | spiralix |
das leuchtet mir alles verständlich ein... aber ich erhalte als ergebnis 1680 und nicht wie luis52 45360 !?
was mach ich denn um himmels willen falsch???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mo 12.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> das leuchtet mir alles verständlich ein... aber ich erhalte
> als ergebnis 1680 und nicht wie luis52 45360 !?
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> was mach ich denn um himmels willen falsch???
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Wie peinlich, du hast Recht. Entschuldigung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 12.03.2007 | | Autor: | spiralix |
puh..da bin ich ja erleichtert, bin schon fast verzweifelt!! danke für die schnelle antwort!!
lieben gruß
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