wo grenzwerte von fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} 2x^2, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{ } \\ x^3 + x, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases} [/mm] bestimme man die Punkte [mm] x_0 \in \IR, [/mm] für die [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] existiert. |
Hallo zusammen,
ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufg. ,weil man sich den Graph nicht einfach so vorstellen kann. Sind die gesuchten Punkte genau die, in denen die Fkt. stetig ist. welchen Ansatz könnte man den hier möglicherweise verfolgen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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> Zu f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} 2x^2, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{ } \\ x^3 + x, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
> bestimme man die Punkte [mm]x_0 \in \IR,[/mm] für die
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm] existiert.
Hallo,
eine Vorstellung vom Graphen kannst du Dir verschaffen, indem Du einfach einmal beide Graphen aufzeichnest. Die zu rationalen Argumenten gehörenden Werte liegen auf dem einen, die zu irrationalen Argumenten gehörenden auf dem anderen Graphen.
Die Frage ist nun: für welche [mm] x_0 [/mm] existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm] ?
Dazu muß man sich ersteinmal überlegen, was [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)=c [/mm] bedeutet.
Es bedeutet: für JEDE Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n [/mm] --> [mm] x_0 [/mm] konvergiert die Folge [mm] f(x_n) [/mm] gegen c.
Wohlgemerkt: für jede Folge muß das gelten. Also für die rationalen Folgen, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, genauso wie für die irrationalen.
Nun liegen für eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] die Werte der rationalen und der irrationalen Elemente meist weit auseinander. Nur an zwei Stellen nicht.
Gruß v. Angela
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