wo ist x stetig? + Kompaktheit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mi 07.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Sei f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(n)=\begin{cases} (n-1)(nx-\bruch{1}{2}) & \mbox{falls } 2n-1 \le \bruch {1}{x} \le 2n \\ -n(nx-\bruch{1}{2}) & \mbox{falls } 2n<\bruch{1}{x}<2n+1 \\0 & \mbox{falls } x=0 \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle x ?in [0,1], in denen f stetig ist
b) Gibt es ein kompacktes K [mm] \subseteq [/mm] , so dass f(K) nicht kompakt ist? |
Hallo.
zu a) ich habe keine Idee wie ich davor gehen soll...die Funktionen umstellen und dann verschiedene x einstetzen? oder wie soll ich das machen?
zu b) kompakt heißt doch: eine Teilmenge k ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
also K kann als Teilmenge von [0,1] kompakt sein, weil [0,1] abgeschlossen und beschränkt (besitzt min und max in [0,1]) ist.
aber ich glaube nicht, dass es ein kompaktes K gibt, so dass f(K) nicht kompakt ist...wie sollte das am besten zeigen?
Für hilfreiche Tipps bin ich sehr dankbar.
Grüße kiwibox
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> Sei f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] gegeben durch
> [mm] f(\red{x})=\begin{cases} (n-1)(nx-\bruch{1}{2}) & \mbox{falls } 2n-1 \le \bruch {1}{x} \le 2n \\ -n(nx-\bruch{1}{2}) & \mbox{falls } 2n<\bruch{1}{x}<2n+1 \\0 & \mbox{falls } x=0 \end{cases}
[/mm]
Hallo,
oben soll wohl eher das rote x stehen, und irgendein Hinweis, daß obige Funktionsvorschrift für alle [mm] n\in \IN [/mm] gelten soll, wäre auch noch notwendig.
Ich jedenfalls mußte erstmal grübeln, wie die Vorschrift gemeint ist - und genau das solltest Du auch mal tun.
Hast Du mal ein paar Funktionswerte ausgerechnet? Könntest Du z.B. [mm] f(\bruch{19}{180}) [/mm] und [mm] f(\bruch{21}{220}) [/mm] angeben?
Für mich selbst wäre es vermutlich sogar nützlich, mal eine Skizze anzufertigen.
> a) Bestimmen Sie alle x ?in [0,1], in denen f stetig ist
> b) Gibt es ein kompaktes K [mm]\subseteq[/mm] , so dass f(K) nicht
> kompakt ist?
> Hallo.
>
> zu a) ich habe keine Idee wie ich davor gehen soll...die
> Funktionen umstellen und dann verschiedene x einstetzen?
> oder wie soll ich das machen?
Die Stellen, an denen die Steigkeit schiefgehen konnte, sind die "Nahtstellen" der Teilintervalle und der Punkt x=0.
Nur diese Stellen sind zu untersuchen, denn innerhalb der Teilintervalle steht die Stetigkeit außer Frage. (Warum?).
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> zu b) kompakt heißt doch: eine Teilmenge k ist genau dann
> kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
> also K kann als Teilmenge von [0,1] kompakt sein, weil
> [0,1] abgeschlossen und beschränkt (besitzt min und max in
> [0,1]) ist.
Eine Teilmenge kann auch kompakt sein, wenn die zugrundeliegende Menge nicht kompakt ist.
Ein beispiel überlege Dir selbst.
> aber ich glaube nicht, dass es ein kompaktes K gibt, so
> dass f(K) nicht kompakt ist...wie sollte das am besten
> zeigen?
Diesen Glauben gilt es durch Wissen abzusichern oder eben zu widerlegen...
Ich denke, daß es sinnvoll ist, hier erstmal zu warten, bis Du die Stetigkeit untersucht hast.
Informieren solltest Du Dich aber trotzdem schonmal über die Bilder von kompakten Intervallen bei stetigen Funktionen.
Gruß v. Angela
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