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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Serena |
Hallo zusammen!
Ich muss im Bereich von 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 den x-Wert bestimmen, für den f(x) [mm] (-0,5x^4 [/mm] + 3x²-4x+1,5) und h0(x) (-4x) den größten Abstand hat finden.
Habe es mit einer Wertetabelle versucht, aber ich glaube mein Gedanke war falsch!
Wie kann ich den größten Abstand sonst noch rausfinden?
Wer kann mir helfen?
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Hallo.
(Ich könnte mich gut verrechnet haben, Hauptsache die Idee wird dir klar!)
Du willst also den x-Wert finden, wo der Abstand zwischen dem y-Wert der Funktion
[mm] $f(x)=-0,5x^4 [/mm] + 3x²-4x+1,5$ und dem y-Wert der Funktion $h(x)=-4x$ am größten ist.
Am besten machst du dir dazu erstmal eine Skizze, der beiden Funktionen, damit du am Ende überprüfen kannst, ob dein Ergebnis einigermaßen stimmen kann.
Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist ja immer die Differenz, d.h. der Abstand zwischen 4 und 9 ist 9-4=5. Also ist der Abstand zwischen den beiden y-Werten (y ist da immer das gleiche wie f(x) oder wie h(x)) in unserem Fall Abstand= Betrag von (f(x)-h(x))=|f(x)-h(x)|. Der Betrag muss sein, weil der Abstand ja immer positiv ist. Wir wissen ja nicht, welche Funktion größer ist. Man kann genau so gut h(x)-f(x) schreiben. Also definieren wir uns die Funktion, die den Abstand zwischen diesen beiden Funktionen berechnet.
Vorher können wir aber am besten erstmal überprüfen, ob sich die Funktionen zwischen 0 und 2 überhaupt schneiden. Dazu berechnen wir die SChnittpunkte: f(x)=h(x).
[mm] $$-0,5x^4 [/mm] + 3x²-4x+1,5=-4x$$
Bringt man alles auf eine Seite, so hat man
[mm] $$-0,5x^4 [/mm] + 3x²+1,5=0$$
Das nimmt man mal (-2) und erhält
[mm] $$x^4 [/mm] -6x²-3=0$$
So, das ist jetzt ganz normale Nullstellensuche, das habt ihr ja bestimmt schon oft gemacht.
Und du weißt ja (hoffentlich), dass immer bei [mm] $x^4$, $x^2$ [/mm] und einer Zahl die SUBSTITUTION drankommt, d.h. man setzt [mm] $x^2$=u [/mm] (oder =z) , egal! Danach löst man dann mit der pq-Formel.
Wir lösen jetzt also [mm] $$u^2-6u-3=0$$ [/mm] mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Das ergibt [mm] u=$3\pm\wurzel{12}$.
[/mm]
Wir suchen aber x, und das ist dann die positive und neg. Wurzel aus u. Aus dem einen kann man keine Wurzel ziehen, die andere Stelle liegt nicht im Intervall 0,2. Also schneiden sich die Funktionen da nicht. Daher ist es etwas einfacher.
Aber du kannst dir ja jetzt überlegen, welche Funktion über der anderen liegt. Da kannst du in deiner Wertetabelle nachgucken, die du ja schon gemacht hast. Ich denke, f ist größer als h.
Jetzt kommen wir zu der Differenzfunktion zurück, die ist dann f(x)-h(x). Die nennen wir mal g(x).
Es ist [mm] $$g(x)=-0,5x^4 [/mm] + 3x²+1,5.$$
Jetzt müsste ich wissen, ob ihr schon Ableitungen habt. Ohne Ableitun ist es schwierig.
Aber am Anfang der 11 hat man das nicht... Ach, ich seh gerade, du bist gar nicht in der 11. Ok, nehmen wir mal an, ihr habt schon Ableitungen.
Dann musst du jetzt einfach gucken, wo g(x) am größten ist, also das Maximum suchen.
g'(x)=..... (das kannst du selbst)
Da kommt dann was mit [mm] $x^3$ [/mm] und x raus, keine Zahl.
Da kannst du dann ein x ausklammern und schwups die wupps kommen als 3 MÖGLICHE Extremstellen:
x=0, [mm] x=$\pm\wurzel{3}$
[/mm]
raus.
Jetzt noch gucken, ob Max oder mIn mit vorzeichenwechselkritierium oder 2. Ableitung.
Ich nehm 2. Abl.
[mm] $$g''(x)=-6x^2+6$$
[/mm]
Jetzt die 3 STellen einsetzen.
g''(0)=6>0--> min
g''(wurzel(3))=-12 <0 --> max
minus wurzel 3 ist uninteressant, weil es nicht zwischen 0 und 2 liegt.
Jetzt wissen wir, dass zwishen 0 und 2 der Abstand bei wurzel 3 am größten ist.
Der ABstand bei x=wurzel3 beträgt g(wurzel 3)=6. Einfach in die Funktion einsetzen.
Wir müssen nur noch gucken, wie groß der Abstand AM RAND ist, d.h. bei 0 und bei x=2.
Dazu berechnen wir g(0)=1,5 (ist kleiner als 6),
g(2)=5,5 auch kleiner als 6.
Antwort: bei x=wurzel(3) ist der Abstand am größten.
OK????? 
Hoffe, dir geholfen zu haben. Immer wenn in einer Aufgabe nach dem GRÖßTEN oder KLEINSTEN Irgendwas (Abstand, Länge, Umfang, Fläche....) gefragt ist: Ableiten und Extremwerte bestimmen. IMMER!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Serena |
Vielen Dank! Du hast es wirklich super erklärt. Du hast dich nicht verrechnet. Die Lösung ist richtig! Die habe ich nämlich von meinem Lehrer bekommen!!!
Vielen Dank nochmal!
Liebe Grüße
Serena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Na, da hab ich ja Glück gehabt!!
Im Verrechnen bin ich nämlich eine Heldin!
Viel Spaß noch beim Rumrechnen.
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Hallo Serena,
kennst du das Programm ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot?
Damit kannst du sehr schnell am Bildschirm Funktionen zeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Übrigens: eigentlich berechnest du mit der vorgeschlagenen Methode übrigens den "senkrechten" Abstand = die Differenz der Funktionswerte!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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