www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - [(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z)
[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:22 Mi 26.04.2006
Autor: Sanshine

Aufgabe
Seien [mm] y\in \IC, k\in \IZ [/mm] mit [mm] k\not=0. [/mm]
Beh: [mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1} [/mm]

Hallo... bin jetzt schon seit einiger Zeit bei dieser Aufgabe und habe allmählich Kopfschmerzen.
Wir haben den Hinweis bekommen, dass x-y für [mm] y\in \IC [/mm] nicht substituiert werden darf, muss also anders gehen. Habe eine Fallunterscheidung gemacht für k>0 bzw. k<0. Für [mm] k\in \IN [/mm] habe ich letztendlich das gewünschte herausbekommen, wenn auch nicht besonders elegant.
Aber bei k<0 haperts, wie ich es auch drehe und wende.
Also: Sei [mm] n\in \IN [/mm] mit k=-n. Dann gilt:
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=\bruch{d}{dx}[(x-y)^{-n}]=\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{(x-y)^n} [/mm]
Das gibt dann ja eins durch ne wunderschöne Summe, die ich mit Quotientenregel ableite. Ich bekomme raus:
[mm] \bruch{-\summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}(n-k)y^kx^{n-k-1}}{(\summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^k)^2} [/mm]

Und wenn ich mir das auf der anderen Seite ausrechne ergibt das:
[mm] k(x-y)^{k-1}=\bruch{-n}{(x-y)^{n+1}}=\bruch{-n}{\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^{n+1-k}y^k} [/mm]

Habe gerechnet wie blöde, sämtliche Regeln, die ich kenne benutzt (summen, binomialkoeffizienten) und hab doch nichts vernünftiges herausbekommen. Hab am Ende auch Induktion angedacht, aber nicht sehr weit. Kann auch sein, dass ich ein wenig übermüdet bin und ein Brett vor dem Kopf habe:-)... Vielleicht kann mir doch jemand einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar,
Gruß
San

        
Bezug
[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:14 Mi 26.04.2006
Autor: PottKaffee

Hi erstmal,

es gilt doch folgendes - oder?
[mm] \bruch{d}{dz}\bruch{1}{g(z)}=-\bruch{g'(z)}{g^2(z)} [/mm]

[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k}=-\bruch{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}(n - k)x^{n-k-1}y^k}{(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k)^2} [/mm] = ...

Es gilt doch auch: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert - oder?

also könnte man doch für [mm] x^{n-k-1}=\bruch{x^{n-k}}{x} [/mm] schreiben und somit dann ... [mm] =-\bruch{1}{x}*\bruch{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}x^{n-k}y^k(n - k)}{(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k)^2} [/mm]

Vielleicht hilft ja noch die Idee, dass [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{(n-k!)k!} [/mm] ist. Oder die, dass man die (n-k) ausmultipliziert.

Vielleicht habe ich ja noch eine Idee.

MfG
Oliver

Bezug
        
Bezug
[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Mi 26.04.2006
Autor: felixf

Hallo San!

> Seien [mm]y\in \IC, k\in \IZ[/mm] mit [mm]k\not=0.[/mm]
>  Beh: [mm]\bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1}[/mm]
>  
> Hallo... bin jetzt schon seit einiger Zeit bei dieser
> Aufgabe und habe allmählich Kopfschmerzen.
>  Wir haben den Hinweis bekommen, dass x-y für [mm]y\in \IC[/mm]
> nicht substituiert werden darf, muss also anders gehen.

Was genau meinst du damit? Das du die Kettenregel nicht verwenden darfst?

> Habe eine Fallunterscheidung gemacht für k>0 bzw. k<0. Für
> [mm]k\in \IN[/mm] habe ich letztendlich das gewünschte
> herausbekommen, wenn auch nicht besonders elegant.

Per Kettenregel gehts am einfachsten :-)
Und falls ihr die nicht benutzen duerft: Schreibe $(x - [mm] y)^{k+1} [/mm] = (x - y) [mm] \cdot [/mm] (x - [mm] y)^k$, [/mm] benutze die Produktregel und verwende Induktion. Falls ihr die Produktregel benutzen duerft... :)
Falls ihr die auch nicht habt, verbleibt der ''dreckige'' Weg ueber Binomialkoeffizienten...

>  Aber bei k<0 haperts, wie ich es auch drehe und wende.
>  Also: Sei [mm]n\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

mit k=-n. Dann gilt:

Wenn du den Trick von PottKaffee verwendest, also $\frac{d}{dt} \frac{1}{g(t)} = -\frac{\frac{d}{dt} g(t)}}{g(t)^2}$, kannst du das mit $g(t) = (x - y)^n$ auf den schon geloesten Fall $\frac{d}{dt} (x - y)^n$ mit $n > 0$ zurueckfuehren. Das setzt natuerlich voraus, das ihr die Quotientenregel schon hattet.

Falls ihr die nicht hattet, sondern nur die Produktregel, dann kannst du sie so herleiten: Es ist $\frac{1}{g(t)} \cdot g(t) = 1$, und Ableiten auf beiden Seiten und Anwenden der Produktregel liefert die Behauptung. Aber die scheint ihr ja schon gehabt zu haben...

LG Felix


Bezug
                
Bezug
[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:07 Mi 26.04.2006
Autor: Sanshine

Aufgabe
sei [mm] y\in \IC, k\in \IZ. [/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1} [/mm]

Hallo!

Vielen Dank erst einmal euch beiden, hat mir sehr viel weitergeholfen... auch wenn ich gestern nacht noch gesehen habe, dass man über die Bin.koeff eventuell doch irgendwie zum Ziel kommen könnte, denke ich ich mache das lieber eleganter [laugh]
Klappt wunderbar:
Also:
Sei k=-n. Es gilt:
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{(x-y)^n}]=\bruch{-\bruch{d}{dx}(x-y^n)}{(x-y)^2n}=\bruch{-n(x-y)^{n-1}}{(x-y)^n(x-y)^n}=\bruch{-n}{(x-y)(x-y)^n}=(-n)(x-y)^{-n-1}=k(x-y)^{k-1} [/mm]
Fertig.
Allerdings,... hmmm... es wäre doch unlogisch, wenn ich die Produktregel nicht benutzen dürfte, die Quotientenregel aber doch? Da "substituiere" ich im Grunde auch?
Warum darf ich das hier eigentlich nicht für Complexe y? Hat da jemand ne Idee? GRuß, San

Bezug
                        
Bezug
[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 29.04.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de