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Forum "Geraden und Ebenen" - x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.
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x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mi 07.12.2005
Autor: Flaw

Hallo ihr,

also.. ich schreibe am Fr Mathe (ein ewiges Leidthema) u habe eine Frage:
Die Aufgabe lautet: Wo schneidet diese ebene (der ebenengleichung), die x,-y-Ebene?

Wenn ich die ebenengleichung habe:

[mm] \pmat{-4&-2&-6} [/mm] +  [mm] \lambda \pmat{-3&-7&-12} [/mm] + [mm] \mu \pmat{-5&-5&-10} [/mm]

So mein 1.) Problem: was ist denn die Ebenengleichung einer x-y-Ebene??
stimmt das zB:

[mm] \pmat{0&0&0} [/mm] + [mm] \varepsilon \pmat{1&0&0} [/mm] +  [mm] \alpha \pmat{0&1&0} [/mm]   ??

Als Lösungsvorschlag würde ich die beiden Gleichungen nun gleichsetzen, u mit dem Gauß-alghorythmus lösen..
Doch.. was mach ich dann mit den 4 Parametern?... also ich mein.. wenn ich dann Zahlen dafür gefunden habe... was sagen die aus?
Oder stimmt diese Vorgehensweise überhaupt??

wäre um Hilfe sehr, sehr dankbar!!

Liebe Grüße,
Linda



Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheplanet.com
        
Bezug
x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mi 07.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Linda,

[willkommenmr] !!


> So mein 1.) Problem: was ist denn die Ebenengleichung einer
> x-y-Ebene??
> stimmt das zB:
>  
> [mm]\pmat{0&0&0}[/mm] + [mm]\varepsilon \pmat{1&0&0}[/mm] +  [mm]\alpha \pmat{0&1&0}[/mm] ??

[daumenhoch] Völlig richtig!



> Als Lösungsvorschlag würde ich die beiden Gleichungen nun
> gleichsetzen, u mit dem Gauß-alghorythmus lösen..

[ok] Auch richtig ...



> Doch.. was mach ich dann mit den 4 Parametern?... also ich
> mein.. wenn ich dann Zahlen dafür gefunden habe... was
> sagen die aus?

Was ist denn das Schnittgebilde zweier Ebenen, die weder identisch oder parallel sind?

Eine Gerade! Und im [mm] $\IR^3$ [/mm] können wir eine Gerade auch in der Parameterdarstellung [mm] $\vec{x} [/mm] \ =\ [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{r}$ [/mm] darstellen.

Wir haben hier also noch ein Parameter, ich habe ihn hier [mm] $\lambda$ [/mm] genannt, übrig. Und da wir durch das Gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen, jedoch vier Unbekannten erhalten, ist dieses Gleichungssystem unterbestimmt.

Daher lösen wir das Gleichungssystem so auf, dass einer der vier Parameter in der Lösung verbleibt und setzen in die entsprechende Ebenengleichung ein.


Nun etwas klarer und [lichtaufgegangen] ??


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Mi 07.12.2005
Autor: Flaw

Hey Loddar,
Oh, ich danke dir =)
Klarer.. naja.. *g.. glaube bin etwas schwer von begriff.
Wollte nur nochmal nachhaken: gibt es denn noch andere x,-y-ebenen gleichungen? oder ist das die einzige? u wenn es noch andere gibt: ist es dann egal welche ich verwende?

und zudem:

> Wir haben hier also noch ein Parameter, ich habe ihn hier
> [mm]\lambda[/mm] genannt, übrig. Und da wir durch das Gleichsetzen
> der beiden Ebenengleichungen ein Gleichungssystem aus drei
> Gleichungen, jedoch vier Unbekannten erhalten, ist dieses
> Gleichungssystem unterbestimmt.


weswegen hat man nach dem Gleichsetzen der beiden Ebenengleichung denn plötzlich ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen?

> Daher lösen wir das Gleichungssystem so auf, dass einer der
> vier Parameter in der Lösung verbleibt und setzen in die
> entsprechende Ebenengleichung ein.

Ich hätte das nun so gerechnet:

[mm] \pmat{ -4 & -2 & -6 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ -3 & -7 & -12 } [/mm] + [mm] \mu \pmat{ -5 & -5 & -10 } [/mm] - [mm] \xarepsilon \pmat{ 1 & 0 & 0 } [/mm] - [mm] \alpha \pmat{ 0 & 1 & 0 } [/mm] = [mm] \vec{v} [/mm]

Nun also mit dem Gauß algorythmus 3 Parameter auflösen? oder bloß 2?
Oder stimmt das jetzt gar nicht mehr? *verwirrt
Bezug
                        
Bezug
x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.: weitere Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 08.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Linda!


> Wollte nur nochmal nachhaken: gibt es denn noch andere
> x,-y-ebenen gleichungen? oder ist das die einzige? u wenn
> es noch andere gibt: ist es dann egal welche ich verwende?

Es gibt unendlich viele Darstellungen und es ist völlig egal, welche Du verwendest. Schließlich wird ja immer dieselbe Ebene beschrieben.

Aber Deine oben genannte Variante ist die einfachste Variante (in Paramaterform).


Andere Gleichungen für dieselbe Ebene? Dau kannst  als Stützvektor jeden beliebigen Punkt dieser x/y-Ebene wählen. Und für die Richtungsvektoren jeden beliebigen Vielfachen Deiner Einheitsvektoren.

Zum Beispiel:

[mm] $E_{xy} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\-4\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-7\\0\\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0\\61\\0}$ [/mm]

Auch diese Gleichung beschreibt die x/y-Ebene.


> weswegen hat man nach dem Gleichsetzen der beiden
> Ebenengleichung denn plötzlich ein Gleichungssystem aus 3
> Gleichungen?

Durch Gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen erhalten wir:

[mm] $\vektor{-4\\-2\\-6} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-3\\-7\\-12} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-5\\-5\\-10} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] \varepsilon*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] \alpha*\vektor{0\\1\\0}$ [/mm]


Umsortieren:

[mm] $\lambda*\vektor{-3\\-7\\-12} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-5\\-5\\-10} [/mm] + [mm] \varepsilon*\vektor{-1\\0\\0} [/mm] + [mm] \alpha*\vektor{0\\-1\\0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{+4\\+2\\+6}$ [/mm]


Und nun erhalten wir zeilenweise die drei Bestimmungsgleichungen:

[1]  [mm] $-3*\lambda -5*\mu -1*\varepsilon [/mm] + [mm] 0*\alpha [/mm] \ = \ 4$

[2]  [mm] $-7*\lambda -5*\mu +0*\varepsilon -1*\alpha [/mm] \ = \ 2$

[3]  [mm] $-12*\lambda -10*\mu +0*\varepsilon +0*\alpha [/mm] \ = \ 6$


Und dieses Gleichungssystem auflösen wie oben angedeutet (Antwort von gestern).


> Ich hätte das nun so gerechnet:
>  
> [mm]\pmat{ -4 & -2 & -6 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{ -3 & -7 & -12 }[/mm] + [mm]\mu \pmat{ -5 & -5 & -10 }[/mm] - [mm]\xarepsilon \pmat{ 1 & 0 & 0 }[/mm] - [mm]\alpha \pmat{ 0 & 1 & 0 }[/mm] = [mm]\vec{v}[/mm]

[notok] Nicht ganz ... siehe oben!


Ich hoffe, nun bekommen wir langsam etwas [idee] und Licht in die Sache ...


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
x,-y-Ebene schneidet Ebenengl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Do 08.12.2005
Autor: Flaw

Hey Lodda,
ja =) habe es nun gerechnet, u denke es müsste stimmen, vielen dank, nochmal =)))
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