x³ Funktion Extremstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 04.02.2013 | | Autor: | a7x |
| Aufgabe | Für welche a ∈ R hat der Graph eine, mehrere oder keine Extremstellen?
a) f(x)=x³ - ax |
Hallo liebes Forum
Ich verstehe die Aufgabe aus meinem Buch nicht, vielleicht könnt Ihr mit helfen.
Genauer verstehe ich nicht wie die genannte Fkt. keine Extremstellen haben kann, indem ich a verändere.
Mir ist aufgefallen, dass wenn a immer größer wird und sich ∞ annähert immer mehr der y-Achse gleicht.
Aber das geht mit dem Definitionsbereich nicht, oder?
Und darf man überhaupt ∞ einsetzen?
Ich kenne mich leider nicht so gut aus, hoffentlich gibt es ja doch eine richtige Lösung
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Genauer verstehe ich nicht wie die genannte Fkt. keine Extremstellen haben kann, indem ich a verändere.
Was ist denn mit dem Fall a=0 ?
> Und darf man überhaupt ∞ einsetzen?
Nein, darfst du nicht. Du darfst a zwar beliebig groß machen, aber nicht auf [mm] \infty [/mm] setzen 
Du solltest vielleicht strukturierter angehen: Was muss denn notwendigerweise überhaupt gelten, wenn es eine Extremstelle geben soll?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 04.02.2013 | | Autor: | a7x |
Hey
Ok.
Wenn f(x) eine Extremstelle haben soll, dann müsste doch die erste Ableitung nur eine Nullstelle haben.
Wenn ich dann a=0 setze, ist f(x) ja f(x)= x³ und f'(x)= 3x²
Also hat f(x) eine Extremstelle bei Null, oder nicht?
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Hiho,
> Wenn f(x) eine Extremstelle haben soll, dann müsste doch die erste Ableitung nur eine Nullstelle haben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beachte jedoch, dass dies nur eine notwendige Bedingung ist.
> Wenn ich dann a=0 setze, ist f(x) ja f(x)= x³ und f'(x)= 3x²
> Also hat f(x) eine Extremstelle bei Null, oder nicht?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dass die erste Ableitung Null ist, ist eine notwendige jedoch keine hinreichende Bedingung, d.h:
Ist [mm] x_0 [/mm] eine Extremstelle und f differenzierbar, so ist [mm] $f'(x_0) [/mm] = 0$, die Umkehrung gilt aber nicht notwendigerweise!
Welche Hinreichenden Kriterien kennst du denn für eine Extremstelle?
Und: Als Hilfe zeichne dir doch mal den Graph von [mm] $f(x)=x^3$, [/mm] dann siehst du auch sofort, dass x=0 keine Extremstelle ist.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mo 04.02.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
> > Wenn f(x) eine Extremstelle haben soll, dann müsste doch
> die erste Ableitung nur eine Nullstelle haben.
>
>
>
> Beachte jedoch, dass dies nur eine notwendige Bedingung
> ist.
In dem Spezialfall ja, da es sich lediglich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt.
Allgemein ist das aber falsch. Es könnte z.B eine Funktion sein, deren erste Ableitung mehrere Nullstellen besitzt, (weil sie womöglich mehrere Sattelpunkte hat) und genau einen Extrempunkt.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 04.02.2013 | | Autor: | a7x |
Hi
ich kenne mich leider nicht mit dem Begriff der Bedingung aus, wir haben sowas noch nicht besprochen.
Aber heißt das, dass f(x) auch eine Nullstelle haben kann, wenn f'(x) dort keine Nullstelle hat?
Ich weiß nämlich sonst nichts zu den Extremstellen, nur dass ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt, wenn bei f'(x) ein Vorzeichenwechsel von +/- oder -/+ vorliegt.
Wenn ich f(x)=x³ zeichne, sieht es so aus als ob der Graph beim Ursprung waagerecht werden würde.
Heißt das, dass dort keine Extremstellen sind?
Ich verstehe das mit dem Abschnitt nicht ( ich weiß auch nicht ob es dort waagerecht wird, oder nicht).
Wenn jetzt f(x)=x³ keine Extremstellen hat, wie kann ich dann die Ursprüngliche Aufgabe lösen, sodass eine Extremstelle vorhanden ist?
Sorry, ich komme jetzt irgendwie ziemlich durcheinander
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Hallo,
> Hi
> ich kenne mich leider nicht mit dem Begriff der Bedingung
> aus, wir haben sowas noch nicht besprochen.
Nun einfach ist es auch nicht, und ob besprochen oder nicht, das Wort Bedingung hat letztendlich (oh Wunder ) die gleiche Bedeutung wie im Alltag. Nur dass man eben noch zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen unterscheiden muss.
Für die Art von Extrema, die du bisher kennst, ist die notwendige Bedingung [mm] f'(x_0)=0. [/mm] Diese muss erfüllt sein, um überhaupt darüber nachzudenken, ob es sich bei [mm] x_0 [/mm] um eine Extremstelle handelt oder nicht.
Klar wird das dann, wenn eine weitere hinreichende Bedingung zusätzlich erfüllt ist. So bedeutet bspw. [mm] f''(x_0)>0 [/mm] dann eben, dass an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum ist. Aber: diese hinreichenden Bedingungen sagen nur dann etwas aus, wenn sie erfüllt sind. Sind sie es nicht, wie bspw. im Fall von [mm] f''(x_0)=0, [/mm] dann bedeutet dass einfach, dass man weitersuchen muss, man kann daraus auf ggf. vorhandene Extrema keine Rückschlüsse ziehen.
> Aber heißt das, dass f(x) auch eine Nullstelle haben
> kann, wenn f'(x) dort keine Nullstelle hat?
Ja, das ist etwa das gleiche, als wenn in A ein Sack Zement umfällt und in B ein Fahrrad. Sprich: eine Nullstelle bedeutet f(x)=0, diese Information geht aber beim Ableiten 'verloren', da die Ableitung die Steigung des Schaubilds von f zurückliefert.
> Ich weiß nämlich sonst nichts zu den Extremstellen, nur
> dass ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt, wenn bei
> f'(x) ein Vorzeichenwechsel von +/- oder -/+ vorliegt.
Das ist richtig, und diese Vorzeichenwechsel sind ein weiteres Beispiel für eine hinreichende Bedingung. Aber auch sie versagen manchmal, also auch dann, wenn du keinen Vorzeichenwechsel zeigen kannst, bedeutet dies nicht, dass kein Extremum vorliegt. Allerdings wird man ein Beispiel hierfür in der Schule sicherlich nicht kennenlernen.
> Wenn ich f(x)=x³ zeichne, sieht es so aus als ob der Graph
> beim Ursprung waagerecht werden würde.
> Heißt das, dass dort keine Extremstellen sind?
Genau so ist es. Das Schaubild von [mm] f(x)=x^3 [/mm] besitzt überhaupt keine Extrema. Im Ursprung hat es einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Ein solcher Punkt wird meist als Sattelpunkt oder auch Terrassenpunkt bezeichnet.
> Ich verstehe das mit dem Abschnitt nicht ( ich weiß auch
> nicht ob es dort waagerecht wird, oder nicht).
>
> Wenn jetzt f(x)=x³ keine Extremstellen hat, wie kann ich
> dann die Ursprüngliche Aufgabe lösen, sodass eine
> Extremstelle vorhanden ist?
>
Indem du die erste Ableitung
[mm] f'(x)=3x^2-a
[/mm]
sowie die zweite Ableitung
f''(X)=6x
auf die übliche Art verwendest. Insbesondere die Gleichung
[mm] 3x^2-a=0
[/mm]
ist auf die Anzahl ihrer Lösungen zu untersuchen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
also ich würde ganz klassisch herangehen:
[mm] f(x)=x^3-ax
[/mm]
Man bildet die erste Ableitung
[mm] f'(x)=3x^2-a
[/mm]
Wir setzen f'(x)=0 und erhalten:
[mm] 0=3x^2-a \gdw x=\pm\sqrt{\frac{a}{3}}
[/mm]
Daran erkennt, man, dass für a<0 offensichtlich gar nix entsteht. Also insbesondere auch keine Extremstellen vorhanden sein können.
Somit sind mögliche Kandidaten: a=0 und a>0.
Jetzt untersucht man die zweite Ableitung für a=0 und a>0. Dies ist dann alles analog, zu dem bereits gesagten. So erkennt man dann, dass für a=0 kein Extremum bekommt, jedoch für a>0 gibt es Extremstellen.
a ist ein Parameter. Das bedeutet aber nicht, dass man das Rad neu erfinden muss. Einfach den Ablauf ganz normal abarbeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 04.02.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> also ich würde ganz klassisch herangehen:
>
> [mm]f(x)=x^3-ax[/mm]
>
> Man bildet die erste Ableitung
>
> [mm]f'(x)=3x^2-a[/mm]
>
> Wir setzen f'(x)=0 und erhalten:
>
> [mm]0=3x^2-a \gdw x=\pm\sqrt{\frac{a}{3}}[/mm]
>
> Daran erkennt, man, dass für a<0 offensichtlich gar nix
> entsteht. Also insbesondere auch keine Extremstellen
> vorhanden sein können.
>
> Somit sind mögliche Kandidaten: a=0 und a>0.
>
> Jetzt untersucht man die zweite Ableitung für a=0 und a>0.
> Dies ist dann alles analog, zu dem bereits gesagten. So
> erkennt man dann, dass für a=0 kein Extremum bekommt,
> jedoch für a>0 gibt es Extremstellen.
Und woran erkennst du anhand der 2. Ableitung für a=0, dass für den Fall kein Extremum besteht? f´´(0)=0 - damit folgt doch im Grunde erst mal noch gar nichts, man kann mit der Info weder sagen ob ein Extremum vorliegt noch ob kein Extremum vorliegt?
Viele Grüße
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Hallo,
> Hallo,
>
> > also ich würde ganz klassisch herangehen:
> >
> > [mm]f(x)=x^3-ax[/mm]
> >
> > Man bildet die erste Ableitung
> >
> > [mm]f'(x)=3x^2-a[/mm]
> >
> > Wir setzen f'(x)=0 und erhalten:
> >
> > [mm]0=3x^2-a \gdw x=\pm\sqrt{\frac{a}{3}}[/mm]
> >
> > Daran erkennt, man, dass für a<0 offensichtlich gar nix
> > entsteht. Also insbesondere auch keine Extremstellen
> > vorhanden sein können.
> >
> > Somit sind mögliche Kandidaten: a=0 und a>0.
> >
> > Jetzt untersucht man die zweite Ableitung für a=0 und a>0.
> > Dies ist dann alles analog, zu dem bereits gesagten. So
> > erkennt man dann, dass für a=0 kein Extremum bekommt,
> > jedoch für a>0 gibt es Extremstellen.
> Und woran erkennst du anhand der 2. Ableitung für a=0,
> dass für den Fall kein Extremum besteht? f´´(0)=0
Genau das ist es doch. [mm] f''(x_0)=0 [/mm] und damit kein Extremwert.
Für ein lokales Extremum ist hinreichend: f'(x)=0 und [mm] f''(x)\not=0.
[/mm]
Für das Protokoll: bei x=0 ist für a=0 ein Sattelpunkt.
> damit folgt doch im Grunde erst mal noch gar nichts, man
> kann mit der Info weder sagen ob ein Extremum vorliegt noch
> ob kein Extremum vorliegt?
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:54 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Genau das ist es doch. [mm]f''(x_0)=0[/mm] und damit kein Extremwert.
die Aussage ist falsch!
Einfaches Gegenbeispiel: $f(x) = [mm] x^4$.
[/mm]
> Für ein lokales Extremum ist hinreichend: f'(x)=0 und [mm][mm] f''(x)\not=0.
[/mm]
Das stimmt zwar, aber die Aussage, dass man bei [mm] $f''(x_0) [/mm] = 0$ einfach gar nichts sagen kann, ist völlig korrekt vom Threadersteller!
Da muss man dann mit anderen Methoden ran.
Auch hier wieder die Reihenfolge beachten, was woraus folgt!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:21 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > Genau das ist es doch. [mm]f''(x_0)=0[/mm] und damit kein
> Extremwert.
>
> die Aussage ist falsch!
> Einfaches Gegenbeispiel: [mm]f(x) = x^4[/mm].
Wir reden doch aber von [mm] f(x)=x^3 [/mm] ?!
>
> > Für ein lokales Extremum ist hinreichend: f'(x)=0 und
> [mm][mm]f''(x)\not=0.[/mm]
Das stimmt zwar, aber die Aussage, dass man bei [mm]f''(x_0) = 0[/mm] einfach gar nichts sagen kann, ist völlig korrekt vom Threadersteller!
Da muss man dann mit anderen Methoden ran.
Auch hier wieder die Reihenfolge beachten, was woraus folgt!
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Wir reden doch aber von [mm]f(x)=x^3[/mm] ?!
Das ändert doch aber nicht daran, dass deine Aussage falsch ist.
Nur weil die zweite Ableitung gleich Null ist, kannst du nicht schlußfolgern, dass dort keine Extremstelle vorliegt!
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Und woran erkennst du anhand der 2. Ableitung für a=0, dass für den Fall kein Extremum besteht? f´´(0)=0 - damit folgt doch im Grunde erst mal noch gar nichts man kann mit der Info weder sagen ob ein Extremum vorliegt noch ob kein Extremum vorliegt?
Das ist völlig korrekt.
Zeige doch direkt, dass 0 keine Extremstelle ist.
Es gilt nämlich $f(x) < f(0)$ für alle $x<0$ und $f(x) > 0$ für alle $x>0$, damit kann 0 keine Extremstelle sein.
MFG,
Gono.
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