x gegen unendlich < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hallo, habe mal ne Frage, über das Verhalten von f(x)= [mm] \bruch{x+1}{e^x} [/mm] gegen +/- unendlich.
Am Grphen habe ich gesehen, dass f(x), für xgegen +unendlich, gegen 0 geht! 0 Ist also die Asymptote von f(x). Doch woher weiß man das rechnerisch?
Und f(x) für x gegen -unendlich, nähert sich ebenfalls an eine Asymptote an. Doch welche und warum? Hat das was damit zu tun, dass [mm] e^x [/mm] für x gegen -unendlich gegen 0 geht und man keine Zahl durch 0 teilen kann?
Und ich habe noch eine Frage: -x* [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] =0
was ist x? Also x=0, da man -x ja mit dem Bruch multiplizieren würde. Dann würde dieser 0 werden. Gibt es noch eine andere Begründung, warum dies =0 sein muss? Ist das die rechnerische Begründung?: -x* [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] =0 / [mm] /e^{-x} [/mm] daher x=0
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo, habe mal ne Frage, über das Verhalten von f(x)=
> [mm]\bruch{x+1}{e^x}[/mm] gegen +/- unendlich.
> Am Grphen habe ich gesehen, dass f(x), für xgegen
> +unendlich, gegen 0 geht! 0 Ist also die Asymptote von
> f(x).
Diese Behauptung ist mathematisch nicht korrekt:
Die Asymptote des Graphen von f(x) ist y=0, also die x-Achse!
Doch woher weiß man das rechnerisch?
Nun ja, man guckt sich Zähler und Nenner an.
Der Zähler geht gegen unendlich.
Der Nenner geht gegen unendlich.
Nun gut, man weiß, dass [mm] e^x [/mm] schneller gegen unendlich strebt, als x+1. Nun ist es in etwa so: 1 geteilt durch eine sehr sehr große Zahl ergibt 0.
> Und f(x) für x gegen -unendlich, nähert sich ebenfalls an
> eine Asymptote an. Doch welche und warum? Hat das was damit
> zu tun, dass [mm]e^x[/mm] für x gegen -unendlich gegen 0 geht und
> man keine Zahl durch 0 teilen kann?
>
>
Nun ja, eine direkte Asymptote ist es nicht.
Auch hier gucke man sich den Zähler und den Nenner an:
x+1 geht sicher gegen [mm] -\infty
[/mm]
[mm] e^x [/mm] geht gegen Null. irgendetwas durch etwas sehr sehr kleines ergibt unendlich.
Da der Zähler aber gegen [mm] -\infty [/mm] geht, geht dann der gesamte Bruch gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Eine Asymptote ist es hierbei nicht, da sich der Graph nicht z.B. einer Geraden anschmiegt. Er geht sozusagen ganz einfach gegen [mm] -\infty
[/mm]
> Und ich habe noch eine Frage: -x* [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] =0
>
> was ist x? Also x=0, da man -x ja mit dem Bruch
> multiplizieren würde. Dann würde dieser 0 werden. Gibt es
> noch eine andere Begründung, warum dies =0 sein muss? Ist
> das die rechnerische Begründung?: -x* [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] =0 /
> [mm]/e^{-x}[/mm] daher x=0
>
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten:
Einmal, durch e^-x teilen, wie du es gemacht hast, das ist übrigens das selbe, als einfach mit [mm] e^x [/mm] zu multiplizieren.
Mann kann auch sagen (und die Überlegung rate ich dir, da du diese auch öfters bei anderen Funktionen bruachst):
Ein Produkt wird dann Null, wenn mind. ein Faktor Null wird:
x wird bei x=0 Null *gg* irgendwie logisch ;)
Und [mm] 1/e^x [/mm] kann NIE Null werden, d.h. x=0 ist einzige Nullstelle.
>
> Danke
>
Bitte=)
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Mark007 |
<Nun ja, man guckt sich Zähler und Nenner an.
<Der Zähler geht gegen unendlich.
<Der Nenner geht gegen unendlich.
<Nun gut, man weiß, dass $ [mm] e^x [/mm] $ schneller gegen unendlich strebt, als <x+1. Nun ist es in etwa so: 1 geteilt durch eine sehr sehr große Zahl <ergibt 0.
Kann man das rechnerisch darstellen, warum die Asymptote =0
ist?
<Nun ja, eine direkte Asymptote ist es nicht.
<Auch hier gucke man sich den Zähler und den Nenner an:
<x+1 geht sicher gegen $ [mm] -\infty [/mm] $
<$ [mm] e^x [/mm] $ geht gegen Null. irgendetwas durch etwas sehr sehr kleines <ergibt unendlich.
<Da der Zähler aber gegen $ [mm] -\infty [/mm] $ geht, geht dann der gesamte Bruch <gegen $ [mm] -\infty. [/mm] $
<Eine Asymptote ist es hierbei nicht, da sich der Graph nicht z.B. einer <Geraden anschmiegt. Er geht sozusagen ganz einfach gegen $ [mm] -\infty [/mm] $
Aber wird [mm] e^x [/mm] denn nie =0, wenn ja, dann müsste es doch eine Asymptote geben, da man einen Zahl nicht durch 0 teilen darf. Falls es keine Asymptote gibt uns f(x) einfach gegen -undndlich geht, kann man dass dann auch rechn erisch darstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> <Nun ja, man guckt sich Zähler und Nenner an.
> <Der Zähler geht gegen unendlich.
> <Der Nenner geht gegen unendlich.
> <Nun gut, man weiß, dass [mm]e^x[/mm] schneller gegen unendlich
> strebt, als <x+1. Nun ist es in etwa so: 1 geteilt durch
> eine sehr sehr große Zahl <ergibt 0.
>
> Kann man das rechnerisch darstellen, warum die Asymptote
> =0
> ist?
Ja, indem man sagt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+1}{e^x} [/mm] = 0
Und die Begründung dafür habe ich dir schon gegeben. Das macht man nämlich, indem man sagt, dass das eine Schneller gegen Unendlich geht, als das andere (Man gucke sich z.B. die Graphen an).
>
> <Nun ja, eine direkte Asymptote ist es nicht.
> <Auch hier gucke man sich den Zähler und den Nenner an:
> <x+1 geht sicher gegen [mm]-\infty[/mm]
> <[mm] e^x[/mm] geht gegen Null. irgendetwas durch etwas sehr sehr
> kleines <ergibt unendlich.
> <Da der Zähler aber gegen [mm]-\infty[/mm] geht, geht dann der
> gesamte Bruch <gegen [mm]-\infty.[/mm]
> <Eine Asymptote ist es hierbei nicht, da sich der Graph
> nicht z.B. einer <Geraden anschmiegt. Er geht sozusagen
> ganz einfach gegen [mm]-\infty[/mm]
>
> Aber wird [mm]e^x[/mm] denn nie =0, wenn ja, dann müsste es doch
> eine Asymptote geben, da man einen Zahl nicht durch 0
> teilen darf. Falls es keine Asymptote gibt uns f(x) einfach
> gegen -undndlich geht, kann man dass dann auch rechn erisch
> darstellen?
Das mit dem Darstellen siehe oben.
[mm] e^x [/mm] wird nie Null, denn wenn, müsste es , wie du sagtest eine Asymptote etc. geben.
Aber das ist wiederum Allgemeinwissen, dass man weiß, dass [mm] e^x [/mm] NIE Null werden kann.
Der Graph von [mm] e^x [/mm] hat allerdings für x gegen [mm] -\infty [/mm] die y-Achse als Asymptote, d.h. es nähert sich beliebig der Null an, wird aber nie null.
Slaín,
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mark!
Den Fall [mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{x+1}{e^x}$ [/mm] kann man auch mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital lösen, da es sich hier um den Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] handelt.
Gruß
Loddar
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