z.Z Beschränkt und mon. Steig. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 So 02.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] [0,\infty)\to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1- [mm] e^{-2x}
[/mm]
Zeigen Sie: Die Funktion ist streng monoton wachsend und beschränkt. |
Hi,
also ich weiß nicht genau, wie ich die Beschränktheit zeigen muss.
Für die Monotonie habe ich die mir die 1. Ableitung angeschaut und daraus gefolgert, dass diese größer Null ist. In etwa so:
f'(x)= [mm] \underbrace{2}_{>0}* \underbrace{e^{-2x}}_{>0,fuer [0,\infty)}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Es sei f: [mm][0,\infty)\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] 1- [mm]e^{-2x}[/mm]
>
> Zeigen Sie: Die Funktion ist streng monoton wachsend und
> beschränkt.
> Hi,
>
> also ich weiß nicht genau, wie ich die Beschränktheit
> zeigen muss.
>
> Für die Monotonie habe ich die mir die 1. Ableitung
> angeschaut und daraus gefolgert, dass diese größer Null
> ist. In etwa so:
>
> f'(x)= [mm]\underbrace{2}_{>0}* \underbrace{e^{-2x}}_{>0,fuer [0,\infty)}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Ja, klar. [mm] e^{-2x}>0 [/mm] gilt ja sogar auf ganz [mm] \IR, [/mm] von daher musst du das meiner Ansicht nach nicht extra begründen, dass es hier auf dem Definitionsbereich gilt.
Die Beschränktheit nach unten ist ja somit auch geklärt, die nach oben bekommst du in diesem Fall mit dem Nachweis einer waagerechten Asymptote. Das geht hier auch sehr einfach. Zeichne mal das Schaubild, dann wird es vielleicht klar. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 02.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
So ganz habe ich es noch nicht verstanden :/ Aus dem Schaubild erkennt man, dass die Funktion gegen 1 strebt für limes gegen unendlich, die 1. Ableitung gegen 0.
Meintest du das? Und wie zeige ich das formal?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> So ganz habe ich es noch nicht verstanden :/ Aus dem
> Schaubild erkennt man, dass die Funktion gegen 1 strebt
> für limes gegen unendlich, die 1. Ableitung gegen 0.
> Meintest du das?
So etwa. Der Grenzwert für [mm] x\to\infty [/mm] ist 1, und zusammen mit der Eigenschaft der strengen Monotonie folgt ja dann sofort, dass die Funktion nach oben beschränkt ist (weshalb braucht es die Monotonie?).
> Und wie zeige ich das formal?
Hinschreiben!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 02.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Okey alles klar hab's jetzt verstanden, danke !
|
|
|
|
