z.z. L(S) = Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab da nen Satz gefunden der noch bewiesen werden muss:
L(S)(lineare Hülle mit Teilmenge S von V)
a.) Für jedes S [mm] \subseteqV [/mm] ist L(S) ein Unterraum vom Vektorraum V über K.
b.) L(S) ist der (bzgl. [mm] \subseteq) [/mm] kleinste Unterraum von V, der S umfasst.
c.) L(S) ist der Durchschnitt aller Unterräume von V, die S umfassen.
Ich kapier aller Sätze aber beweisen ist dann wieder eine andere Sache.
Versuch zu
a.) Sei S = [mm] {v_{1},...,v_{n}}
[/mm]
Dann ist die lineare Hülle L(S) = [mm] {c_{1}v_{1},......,c_{n}v_{n}|c_{1},...c_{n} in K} [/mm] die Menge aller Linearkombinationen der Mengen von S
Also wäre U:= {v in V | v ist Linearkombination von Vektoren aus S}
z.z.: U = L(S)
Das wäre mein Ansatz .... weiß nicht mehr wieß weiter geht. Man muss sicherlich beide Richtungen beweisen nur welche?
Zu b.) und c.) bin ich mir nicht sicher ob das überhaupt zu beweisen aber ich wette schon.....
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*keine ANTWORT, nur ueberlegungen !*
zu a) wieso zeigst du nicht die kriterien fuer einen unteraum ?
1.) 0 [mm] \in [/mm] S
2.) x+y [mm] \in [/mm] S x,y [mm] \in [/mm] S
3.) skalarmultiplikation ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Do 24.02.2005 | | Autor: | Hexe |
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> Versuch zu
> a.) Sei S = [mm]{v_{1},...,v_{n}}
[/mm]
> Dann ist die lineare Hülle L(S) =
> [mm]{c_{1}v_{1},......,c_{n}v_{n}|c_{1},...c_{n} in K}[/mm] die
> Menge aller Linearkombinationen der Mengen von S
> Also wäre U:= {v in V | v ist Linearkombination von
> Vektoren aus S}
>
> z.z.: U = L(S)
Was willst du da zeigen du hast U so definiert, das es =L(S) ist. L(S)->Menge der Linearkombinationen von S ; U -> Menge der Linearkombinationen von S. Was du zeigen musst, sind wie "Ehrlichbemühter" vorschlägt die Unterraumkriterien anhand dieser Definition, und bei b) und c) ebenso. Du fängst mit L(S):= {v in V | v ist Linearkombination von Vektoren aus S} an und zeigst damit das Gewünschte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 27.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab mal gemacht was ihr mir vorgeschlagen habt...
Also sei L(S) := {v in V|v ist Linearkombination von Vektoren aus S}
zu a.)
Unterraumkriterien:
OV1(muss mindestens ein Element enthalten): Da S nunmal eine Teilmenge aus einem Vektorraum V ist kann es gar nicht leer sein oder?
OV2: v1,v2 in V v1 + v2 in V --> wieder Linearkombination aus S also Kriterium erfüllt
OV3: c in K, v in V ---> cv ---> wieder Linearkombination aus S also Kriterium erfüllt
So und jetzt bfrage ich micht wie ich b.) bzw. c.) beweisen soll da es ja eigentlich wieder derselbe Beweis ist wie zu a.) bzw. zu b.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
> Also sei L(S) := {v in V|v ist Linearkombination von
> Vektoren aus S}
>
> zu a.)
> Unterraumkriterien:
> OV1(muss mindestens ein Element enthalten): Da S nunmal
> eine Teilmenge aus einem Vektorraum V ist kann es gar nicht
> leer sein oder?
$S$ ist nicht leer, es gibt also ein $s [mm] \in [/mm] S$. Dann ist auch $L(S)$ nicht leer, denn $1 [mm] \cdot [/mm] s [mm] \in [/mm] L(S)$.
> OV2: v1,v2 in V v1 + v2 in V --> wieder
> Linearkombination aus S also Kriterium erfüllt
> OV3: c in K, v in V ---> cv ---> wieder
> Linearkombination aus S also Kriterium erfüllt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So und jetzt bfrage ich micht wie ich b.) bzw. c.) beweisen
> soll da es ja eigentlich wieder derselbe Beweis ist wie zu
> a.) bzw. zu b.)
Nun ja: Jeder Unterraum $U$, der $S$ enthält, muss auch alle Linearkombinationen von $S$ enthalten, d.h. es gilt: $L(S) [mm] \subset [/mm] U$. Das löst b). Da ein beliebiger Durchschnitt von Unterräumen wieder wieder ein Unterraum ist und der Durchschnitt aller Unterräume, die $S$ enthalten, als Menge auf jedem Fall in jedem Unterraum, der $S$ enthält, enthalten ist und selber $S$ enthält, folgt auch c) mit Hilfe von b).
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 27.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab mal deine Antworten versucht mathematisch umzusetzen:
U = R³
Sei S = {(a,b,0),(a',b',0),(a'',b'',0)}
L(S) ist damit die Ebene durch den Ursprung des Raumes R³
U = {(x,y,z)|x,y sind Linearkombinationen aus S,z beliebig}
Also L(S) [mm] \subset [/mm] U
Aber warum hast du L(S) [mm] \subset [/mm] V angegeben L(S) kann doch auch U sein oder?
Na ja und bei c.) muss man zu erst einmal beweisen dass der Durchschnitt aller Vektorräume wieder ein Vektorraum ist (Beweis hab ich schon) aber dann versteh ich zwar deine Ausformulierungen aber ich kann sie halt nciht mathematisch umsetzen. Ein paar Tips wären hilfreich..danke
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Ich seh jetzt nicht mehr so ganz wo du noch hängst.
Also das Beispiel brauchst du wahrscheinlich nicht, und du hast U auf zwei unterschiedliche Weisen definiert, von der ich die 2. nicht wirklich verstehe.
> U = R³
> Sei S = {(a,b,0),(a',b',0),(a'',b'',0)}
> L(S) ist damit die Ebene durch den Ursprung des Raumes
> R³
Also zunächst mal gibt es nicht "Die" Ebene durch den Ursprung und dann ist noch nicht klar ob es überhaupt eine Ebene ist, oder alle 3 Vektoren auf einer Geraden liegen, oder gar sämtlich 0 sind.
> U = {(x,y,z)|x,y sind Linearkombinationen aus S,z
> beliebig}
x und y sind Koordinaten von Vektoren, Liniarkombinationen aus S sind stets Vektoren, d.h. x, y können imho keine Liniarkombinationen aus S sein. Wenn ich dich richtig verstanden habe meinst du: U=L(S [mm] \cup [/mm] {(0,0,1)}) aber hier ist je nachdem ob L(S) eine Ebene, eine Gerade oder ein Punkt ist unklar, ob U dann immer noch [mm] R^3 [/mm] ist wie oben definiert.
> Also L(S) [mm]\subset[/mm] U
> Aber warum hast du L(S) [mm]\subset[/mm] V angegeben L(S) kann doch
> auch U sein oder?
Je nachdem wie du U definierst sicher, aber es gibt ja durchaus verschiedene Mengen, in denen unsere Menge enthalten sein darf.
> Na ja und bei c.) muss man zu erst einmal beweisen dass der
> Durchschnitt aller Vektorräume wieder ein Vektorraum ist
> (Beweis hab ich schon) aber dann versteh ich zwar deine
> Ausformulierungen aber ich kann sie halt nciht mathematisch
> umsetzen. Ein paar Tips wären hilfreich..danke
Nun so sehr viel sehe ich hier nicht mehr zu machen.
Also zunächst: Es ist der Kleinste, denn angenommen es gäbe kleineren, dann läge in dem S aber nicht alle Liniarkombinationen von S Wid zu Vektorraumaxiomen.
Dann Vektorräume sind Durchschnittsstabil
Somit bleibt nur noch zu zeigen: Durchschnitt aller die S enthalten ist der kleinste der S enthält.
1. Durchschnitt ist Teilmenge des kleinsten, denn der Durchschnitt von Mengen ist immer Teilmenge dieser Mengen.
2. der kleinste liegt im Durchschnitt, denn der Durchschnitt ist ein VR und S liegt in ihm (denn S ist in allen Mengen über die wir schneiden) d.h. auch alle Liniarkombinationen von S liegen im Durchschitt (also L(S)) fertig.
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