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z Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Sa 24.04.2021
Autor: Matheias

Hallo!

Ich studiere derzeit die z Formel, also:

z = [mm] \bruch{x - \mu}{\sigma} [/mm]


Wir haben diese immer als Definition bekommen aber niemals motiviert oder hergeleitete.

Ich habe folgende Fragen:

- wieso ist die z Formel so definiert wie sie ist?

- was war zuerst da? die z Formel oder die Forderung dass die Standardnormalverteilung den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 bekommen soll?

- welche Vorteile hat es den Erwartungswert = 0 und die Varianz = 1 zu wählen und hat dies dazu gebracht das die z Formel so aussieht wie sie aussieht?

Was ich mit Sicherheit weiß, ist dass die z Formel nicht vom Himmel gefallen ist :)


Danke im Voraus!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
z Formel Herleitung: Dichte und Verteilung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Sa 24.04.2021
Autor: Infinit

Hallo Matheias,
zunächst einmal herzlich willkommen hier im Forum.

Ich werde mal versuchen, ein wenig Klarheit in dieses Gebiet zu bringen und dazu sollte man mit der Definition der Gaußdichte beginnen.
Eine Zufallsvariable [mm] X [/mm] nimmt reelle Werte an, die durch die kleingeschriebene Variable [mm]x [/mm] beschrieben werden. Weiterhin lässt sich diese Dichte durch zwei Parameter beschreiben, nämlich durch ihren Mittelwert [mm] \mu [/mm] und die Varianz [mm] \sigma^2 [/mm].
Damit bekommt man folgenden Ausdruck für eine Gaußdichte:
[mm] f(x | \mu , \sigma^2) = \wurzel{\frac{1}{2 \pi \sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} [/mm]
Dies ist die Dichte und die Normal- oder auch Gaußverteilung bekommt man durch die Integration dieser Dichte bis zum Wert [mm] x [/mm]. Als Integrationsparameter, um da nicht durcheinander zu kommen, schreibt man das Integral häufig, so mache ich es hier auch mal, als Funktion der Integrationsvariablen [mm] t [/mm]. Einer Norm zufolge schreibt man diese Zufallsverteilung dann mit dem Großbuchstaben der Dichte und so entsteht:
[mm] F(x) = \frac{1}{\sigma \wurzel{2 \pi}} \int_{t=-\infty}^{t=x} e^{-\frac{1}{2} (\frac{t-\mu}{\sigma})^2}} \, dt [/mm]
Dieses Integral ist nicht geschlossen lösbar, man muss es numerisch bestimmen und so liegt es nahe für ein Tabellenwerk den Bruch in der e-Funktion durch eine neue Variable zu ersetzen. Hier kommt nun Deine Variable [mm] z [/mm] ins Spiel.
Setzt man
[mm] z = \frac{t-\mu}{\sigma} [/mm] und leitet diese Größe nach [mm] t [/mm] ab, so erhält man
[mm] dt = \sigma \, dz [/mm]. Somit kürzt sich das eine Sigma vor dem Integral nun heraus und man bekommt
[mm] F(x) = \frac{1}{\wurzel{2 \pi}} \int_{z=-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz [/mm]

Die z-Formel, wie Du sie nennst, beinhaltet den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und die Standardabweichung [mm] \sigma [/mm]. Sie berücksichtigt diese beiden Parameter, die auslangen, um die Normalverteilung zu beschreiben, aber im Tabellenwerk macht es Sinn, eine Größe zu benutzen, die nur einen Parameter beinhaltet und so kommt man zur Standardnormalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Weswegen dies funktioniert, liegt daran, dass die Linearkombination einer normalverteilten Zufallsvariabeln auch wieder normalverteilt ist.  

Ich weiß jetzt nicht, wieviel Du über die Berechnung von Momenten von Zufallsvariablen weißt, das Gebiet ist nicht so ganz einfach, besonders wenn es noch um Funktionen von Zufallsvariablen geht. De facto muss man immer auf die Dichteverteilungen zurückgreifen.
Die obige Verteilung hatten wir als Funktion von [mm] x [/mm] geschrieben, mit der Substitution führst Du nun die Zufallsvariable [mm] Z [/mm] ein mit
[mm] Z = \frac{X-\mu}{\sigma} [/mm]
Diese neue Zufallsvraible ist, wie oben bereits gesagt, auch wieder normalverteilt und sie besitzt den Erwartungswert 0 und die Varianz 1.
Für den Erwartungswert lässt sich dies schnell zeigen:
[mm] E(Z) = E(\frac{1}{\sigma} (X-\mu)) = E(\frac{1}{\sigma} (\mu - \mu)) = 0 [/mm]
Für die Varianz ist die Sache komplizierter, aber glaube mir bitte, dass die Varianz dieser neuen Zufallsvariablen [mm] Z [/mm] gerade den Wert 1 hat und damit sind wir von den Parametern her bei der Standardnormalverteilung. Eine Betrachtung für die Varianz einer quadratischen, normalverteilten Zufallsvariablen findest Du u. a. in Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. In meiner Ausgabe von 1984 steht dies auf Seite 111.
Ich hoffe sehr, damit etwas zur Klärung beigetragen zu haben.

Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
z Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 So 25.04.2021
Autor: Matheias

hallo Infinit und vielen dank für deine antwort!

mir ist leider immer noch nicht klar wieso man die z formel so definiert hat wie man sie kennt.

mir ist auch nicht klar wieso du bei deinem integrationsbeispiel einfach substituierst, vor allem was dich dazu motiviert und was es einfacher machen soll.
wenn ich das verstehe hätte ich direkt eine weitere frage und zwar:
wieso substituiere nicht mit etwas anderem?

ein weitere punkt ist folgender:
mir ist klar das E(z) = 0 und Var(z) = 1 ist, dass kann man relativ einfach zeigen in dem man die eigenschaften von E und Var nutzt.
(das hast du mit E schön gezeigt)

die frage ist jetzt eine art chicken egg problem, damit meine ich folgendes:
was war zuerst da?
die forderung das E(z) = 0 und Var(z) = 1 gelten soll?
ODER
z = (x - mu)/sigma

wenn es zuerst E(z) = 0 und Var(z) = 1 gefordert wurde, frage ich mich wieso?
in einigen artikeln heißt es "schön" oder "praktisch" ist dieses zu fordern, aber es wurde nicht gezeigt wieso das so "schön" und "praktisch" ist.
außerdem muss dann aus dieser forderung das z definiert werden und begründen wieso man das z so definiert wie man es defniert.

wenn jedoch zuerst z = (x - mu)/sigma gefordert wurde, frage ich mich gerade wie man darauf gekommen ist, was einen dazu gebracht hat, und was einen getrieben hat dies so zu definieren.

vielen dank nochmal für deine antwort!



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Bezug
z Formel Herleitung: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 So 25.04.2021
Autor: Infinit

Hallo Matheias,
das Ganze ist aus meiner Sicht einfach eine naheliegende Substitution, um einen möglichst einfachen Integranden für die Verteilungsfunktion zu haben. Weiterhin hat diese Substitution den Vorteil eine Funktion zu erzeugen, die man als standardisierte Normalverteilungsfunktion bezeichnet und die eine flächentreue Transformation der Gaußchen Glockenkurve ist.
Ein weiterer Vorteil ist der,  dass man für z-Werte von +1 oder -1 gerade die Wendepunkte der Glockenkurve bekommt. Insofern hat es sich einfach durchgesetzt, diese Funktion zu tabellieren. Dein Chicken-und-Egg-Problem kann ich beim besten Willen nicht lösen, da müsstest Du mal in der Geschichte der Statistik etwas wühlen, vielleicht findet man da einen Hinweis.
Viele Grüße,
Infinit

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z Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 25.04.2021
Autor: Matheias

hallo Infinit und danke für die antwort!

ich fasse mal kurz zusammen:
wir haben eine schöne glokenkurve, welche symmetrisch ist, und verschieben diese an der achse wo sich auch das koordinatensystem teilt.

wieso kann ich nicht sagen, mich würde aber die geschichte dazu sehr interessieren und google hilft da auch nicht weiter, ich halte aber meine augen offen.

gehen wir einen schritt weiter:
ich weiß jetzt nicht was zufall ist oder was absichtlich so modelliert wurde, um die eigenschaften zu erhalten die wir von der standardnormalverteilung kennen, beispielsweise die lage der schnittpunkte etc.

eine frage hätte ich aber immer noch:
wie wurde die z formel motiviert/entwickelt?
bzw. wie kann man die z formel herleiten?


danke nochmals!

Bezug
                                        
Bezug
z Formel Herleitung: Siehe oben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 So 25.04.2021
Autor: Infinit

Hallo Matheias,
jetzt bin ich etwas ratlos. Diese Formel ist eine Substitution zur Vereinfachung des zu lösenden Integrals. Das hatte ich bereits in meinen beiden oberen Beiträgen geschrieben.  Mehr ist nicht dahinter.
Viele Grüße Infinit

Bezug
                                                
Bezug
z Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 So 25.04.2021
Autor: Matheias

hallo Infinit,

mir ist klar dass die z formel eine substitution ist, aber mir ging es immer um eine sache und zwar
"wie ist man darauf gekommen sie so zu definieren?"

wenn die frage nicht klar ist, lass es mich anders versuchen:
der liebe Gauß war an seinem schreibtisch und betrachtete dass alle normalverteilungen ähnlich aussehen, dann zückte er seine feder raus und versuchte eine standardform zu finden, dann hat er etwas nachgedacht und kam auf z = (x - mu)/sigma
(geschichtlich frei erfunden ^_^)

nochmals und das ist meine hauptproblem:
- wie ist man darauf gekommen
- wieso hat man sie so definiert wie man es getan hat
- z = (x - mu)/sigma ist schön, wieso nicht z = (x + mu)/sigma oder z = (x - [mm] mu)^2/sigma [/mm]

der springende punkt ist dass man irgendwie darauf gekommen ist bestimmte parameter rein zu nehmen und geschickt gewählt hat

mich interessiert die motivation bis zur entwicklung dieser formel, denn sie kann ja nicht aus dem himmel gefallen sein oder aus zufall entstanden sein

hoffe die frage ist jetzt klar :)

dank dir nochmals!



Bezug
                                                        
Bezug
z Formel Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 So 25.04.2021
Autor: HJKweseleit

Lies dir mal meinen Beitrag dazu durch.

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z Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 So 25.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> mir ist klar dass die z formel eine substitution ist, aber
> mir ging es immer um eine sache und zwar
>  "wie ist man darauf gekommen sie so zu definieren?"

Da wurde nix definiert.
Ich glaube, du versuchst da etwas hinauszuinterpretieren, was nicht da ist.
Die Formel beschreibt einfach einen elementaren Zusammenhang zwischen Normalverteilungen.
Du fragst ja auch nicht, wieso die Zahlen 5 und 7 gerade über die "Formel" 5+2=7 in Zusammenhang stehen.
Da könnte ich ja nun auch fragen: "wie ist man darauf gekommen, sie so zu definieren?"
Da wurde nichts definiert, es wird einfach der Zusammenhang zwischen 5 und 7 in einer Formel ausgedrückt.

Ebenso ist es hier: Hast du zwei Normalverteilungen z und x so kannst du eben den Zusammenhang zwischen beiden Darstellen durch die Formel $z = [mm] \frac{x-\mu}{\sigma}$ [/mm] wobei [mm] $\mu [/mm] = [mm] \mu_x [/mm] - [mm] \mu_z$ [/mm] und [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \frac{\sigma_x}{\sigma_z}$ [/mm]

Der Fall, dass z die Standardnormalverteilung ist, ist dann einfach nur ein Spezialfall.

Eine andere Frage ist, warum die Standardnormalverteilung eine Sonderstellung hat.
Dies hat mehrere Gründe:

1.) Sie ist die normierte Normalverteilung. Normieren macht man ja grundsätzlich gerne.
2.) Sie taucht als "natürlicher" Grenzwert von normierten Verteilungen auf, Stichwort: zentraler Grenzwertsatz.

Dies hatte zur Folge, dass man die Verteilungstabelle für die Standardnormalverteilung einfach öfter benötigt. Zusammen mit der Tatsache, dass man jede Normalverteilung über die Transformationsformel in die Standardnormalverteilung überführen konnte, führte das halt dazu, dass man AUSSCHLIEẞLICH die Tabelle der Standardnormalverteilung benötigte und daher erstellt hat.

Heißt: Arbeitserleichterung.

Gruß,
Gono





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z Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Sa 24.04.2021
Autor: HJKweseleit

Hier noch mal eine nicht ganz so theoretische Erklärung:

Wir haben einen Zufallsprozess mit zwei möglichen Ausgängen, z.B. eine "6" zu würfeln (W. = p = 1/6) oder nicht.

Bei einer größeren Stichprobe mit der Anzahl n bekommst du dann für die W.-Verteilung dafür, wieviele "6"-en fallen, die Binomialverteilung mit einem "Berg", dessen Gipfel bei [mm] \mu=p*n [/mm] liegt und der sich bei großem n immer mehr einer Gaußschen Glockenkurve annähert. Solche Bilder kannst du ggf. im Netz unter Binomialverteilung finden.

Wenn du nun 12 mal einen Würfel wirfst und guckst, wie oft die 6 gefallen ist, erwartest du [mm] \mu=2 [/mm] mal. Aber keinmal oder 4 mal wären ja auch noch nicht verwunderlich, die Abweichung wäre aber (auf [mm] \mu=2 [/mm]  bezogen ) sofort 100 Prozent. Bei 1200 Würfen wären [mm] \mu=200 [/mm] "6"-en zu erwarten, aber keine "6" oder 400 "6"-en wären erstaunlich, obwohl das auch "nur" 100 % Abweichung wären. Prozentual gesehen hat also [mm] \mu=n*p [/mm] von allen Möglichkeiten die höchste W., mit größer werdendem n sinkt aber die W. dafür, um den selben Prozentsatz davon abzuweichen wie bei einem kleinen n.

Durch theoretische Überlegungen (und Versuche) kann man feststellen, dass diese Abweichung von [mm] \mu=p*n [/mm]  je nach p und n schmaler oder breiter wird. Dies lässt sich bei der Binomialverteilung theoretisch dann genau mit der Streuung [mm] \sigma=\wurzel{p*n*q} [/mm] mit q=1-p erfassen.

Theoretische Betrachtungen zeigen nun: Alle solche Kurven sehen für große n in folgendem Sinne völlig gleich aus:

- Ihr Maximum liegt bei [mm] \mu [/mm] = p*n.

- Sie sind symmetrisch um diesen Wert verteilt.

- Sie sind in Richtung der x-Achse mit dem Faktor [mm] \sigma [/mm] gestreckt, d.h., bei doppeltem [mm] \sigma [/mm] ist z.B. der Abstand zwischen dem linken und rechten Berghang auf halber Gipfelhöhe doppelt so weit wie bei einfachem [mm] \sigma. [/mm] (Gleichzeitig sinkt allerdings die Berghöhe, da die Fläche unter dem Graphen ja immer 1 ergeben muss.)

Bei der Binomialverteilung muss man eigentlich zu jedem n und jedem p die W. für einen Wert individuell mühsam berechnen. Das wird dann besonders aufwändig, wenn man das für einen ganzen Bereich, z.B. für x= 1000 bis x=1200, berechnen wollte. Da sich für großes n aber alle diese Kurven gleichen, kann man diese mit einem Musterexemplar davon alle auf einmal erfassen, indem man sie auf dieses Musterexemplar transformiert und dann ggf. zurücktransformiert. Und das ist die Gaussche Kurve mit der Variablen z.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Zuerst schiebst du den Wert [mm] \mu=p*n [/mm] (und damit die ganze Glocke, blau) mit dem Gipfel auf [mm] z_1=0, [/mm] indem du [mm] z_1=x-\mu [/mm] setzt: [mm] x=\mu [/mm] wandert auf 0, [mm] x=\mu+3 [/mm] auf 3 usw. Dann liegt sie dort, wo auch die Gaußsche Glocke (rot) liegt. Sie ist aber noch mit dem Faktor [mm] \sigma [/mm] zu breit, und wenn du die [mm] z_1-Werte [/mm] nun noch durch [mm] \sigma [/mm] teilst, wird sie (im Beispiel) schmaler und höher und liegt dann genau auf der Gaußschen Glocke mit [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1. [/mm]



Beispiel: n=10000, p=0,2, [mm] \mu=10000*0,2=2000, \sigma=\wurzel{10000*0,2*0,8}=40 [/mm]

Betrachte x=2040. Das ist [mm] \mu+40, [/mm] damit ist [mm] z_1=40. [/mm]
[mm] \mu [/mm] liegt nun in Gedanken auf 0, [mm] z_1 [/mm] auf 40, das wäre auf der Gaußglocke "gar nicht mehr zu finden". [mm] z=z_1/\sigma=40/40=1 [/mm] bedeutet nun, dass der Wert x=2040 auf der Standardkurve nach 1 gewandert ist. Die Standardabweichung 40 der Ausgangskurve ist nun gerade auf die Standardabweichung 1 der Gaußkurve gewandert, dort haben z.B. sowohl die Ausgangskurve als auch die Standardkurve einen Wendepunkt.

Da nun auf der Standardkurve die Integralwerte bekannt sind (Tafeln oder Computer), weiß man, dass zwischen 0 und 1 dort 34,13% der Ausfälle liegen, somit auf der Originalkurve ebenfalls 34,13% zwischen 2000 und 2040 liegen.

Willst du umgekehrt wissen, zwischen welchen Werten hier die Abweichung von 2000 nach links oder rechts in höchstens in 5,56 % der Fälle zu erwarten ist, wären das (wg. Symmetrie) 2,28% links und 2,28% rechts, blieben rechts 97,72% = 0,9772 übrig, dann wäre z=2 und damit [mm] z*\sigma=80, [/mm] der Bereich also 2000-80=1920 bis 2000+80=2080 (wobei wir uns jetz nicht streiten, ob die Ränder mit dazu gehören). Dann ist die W. 5,56 % dafür, dass die Werte unter 1920 oder über 2080 liegen.







Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
z Formel Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:51 Do 29.04.2021
Autor: Matheias

hallo HJKweseleit, Gonozal_IX, Infinit
Danke für eure Antworten!

Ich habe ich eure Antworten nochmals studiert und habe mich mit einigen freunden ausgetauscht.
Ich habe dann gefunden was ich die ganze zeit gesucht habe :)
Hier meine formal Zusammenfassung:


Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariablen.
Es ist möglich eine Zufallsvariable als lineare Transformation einer anderen Zufallsvariable darzustellen. Formal können wir das so ausdrücken: $Y = aX+b$

Dies macht Sinn wenn man darüber nachdenkt, denn wenn wir den diskreten Fall betrachten, dann beschreibt Y ein Intervall, welches wir mit einem anderen Intervall, welches von X beschrieben wird auch erhalten können, solange wir es es verschieben und skalieren.

Im normalverteilten Fall, haben alle normalverteilten Zufallsvariablen die gleiche Dichtefunktion, nur mit unterschiedlichen Parametern.

D.h. alle Dichtefunktionen ergeben eine Glockenkurve, welche den Flächeninhalt 1 haben, wobei man eine Glockenkurve mit einer anderen Glockenkurve beschreiben kann, solange man diese verschiebt und skaliert, also linear transformiert.

Betrachten wir diese Glockenkurven, wäre es hilfreich eine Glockenkurve zu erhalten, welche einfacher zu lesen und zu interpretieren ist.
Diese können wir dann als Repräsentanten verwenden, da wir zwischen dieser "einfachen" und der gegebenen Glockenkurve hin und her springen können.

Dieses hin und her springen ist möglich, da eine lineare Transformation dann einfach umgekehrt werden kann, welche algebraisch einfach zu handeln ist und da eine lineare Abbildung ein Morphismus ist, erhalten wir Eigenschaften wie Strukturerhaltenheit, d.h. der Hochpunkt von einer Glockenkurve abgebildet/transformiert auf die andere Glockenkurve, bleibt ein Hochpunkt.

Jetzt ist die Frage, wie soll unsere "einfache" Glockenkurve aussehen, welche wir dann als "Standard" verwenden? Welche Eigenschaften soll deren Zufallsvariable, welche wir mit Z bezeichnen, haben?

Eine Möglichkeit ist dass diese Standard-Glockenkurve die y-Achse als Spiegelachse verwendet. Mathematisch bedeutete dass der Erwartungswert an der Stelle 0 liegt, also E(Z) = 0.
Dies macht man auch bei Funktionsscharen, wo ein Symmetriepunkt genommen wird und dieser nach x = 0 verschoben wird.
Ein andere Vorteil dies so zu wählen, ist dass wir Werte einfacher interpretieren können, wenn wir eine beliebige Zufallsvariable X zu der Zufallsvariable Z überführen, d.h. alle negativen Werte von Z liegen links vom Erwartungswert und ale positiven Werte von Z liegen rechts vom Erwartungswert.

Jetzt verlangen wir noch das Var(Z) = 1 ist, denn damit haben wir eine Distanz die wir einfacher interpretieren und merken können, im Gegensatz zu anderen Zahlen, und können die relevanten Bereiche der Glockenkurve in 3 Teile links und rechts vom Erwartungswert teilen.

Alle Dinge die wir aufgezählt haben und die wir fordern sind formal gesprochen:
X = aZ+b mit E(Z) = 0 und Var(Z) = 1

Wir müssen nun herausfinden was a und b ist, sodass wir unsere geforderten Eigenschaften für Z behalten.

Wir wissen das X = aZ+b, daraus folgt dass Z = [mm] \bruch{X-b}{a} [/mm] ist.

Da X eine beliebige Zufallsvariable ist ist E(X) = [mm] \mu [/mm] und Var(X) = [mm] \sigma^2 [/mm] mit [mm] \mu,\sigma [/mm] in [mm] \IR [/mm]

Packen wir das Z in E und Var um a und b zu ermitteln.

[mm] \gdw E\left(Z\right) [/mm] =  0

[mm] \gdw E\left(\frac{X - b}{a}\right) [/mm]  =  0

[mm] \gdw \frac{1}{a} \suppressed{\explicitspace} [/mm] E(X - b)  =  0

[mm] \gdw \frac{1}{a} [/mm] (E(X) - E(b))  =  0

[mm] \gdw \frac{1}{a} (\mu [/mm] - b)  =  0

[mm] \gdw \mu [/mm]  =  b



[mm] \gdw [/mm] Var(Z) = 1

[mm] \gdw E(Z^2) [/mm] - E [mm] (Z)^2 [/mm] = 1

[mm] \gdw E\left( \left( \frac{X - \mu}{a} \right)^2 \right) [/mm] - [mm] \hspace{2.6em} 0^{2\quad} [/mm] = 1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} \suppressed{\explicitspace} [/mm] E ((X - [mm] \mu)^2) [/mm] = 1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} \suppressed{\explicitspace} [/mm] E [mm] (X^2 [/mm] - 2 X [mm] \mu [/mm] + [mm] \mu^2) [/mm] = 1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2) [/mm] - [mm] 2\muE(X) [/mm] + [mm] E(\mu^2)) [/mm]  =  1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2) [/mm] - [mm] 2\muE(X) [/mm] + [mm] E(\mu^2)) [/mm]  =  1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2) [/mm] + 0 - 2 [mm] \mu [/mm] E(X) + [mm] E(\mu^2)) [/mm]  =  1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2) [/mm] - [mm] E(X)^2 [/mm] + [mm] E(X)^2 [/mm] - [mm] 2\muE(X) [/mm] + [mm] E(\mu^2)) [/mm]  =  1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} (\tmop{Var}(X) [/mm] + [mm] \mu^2 [/mm] - [mm] 2\mu^2 [/mm] + [mm] \mu^2) [/mm]  =  1

[mm] \gdw \frac{1}{a^2} \sigma^2 [/mm]   =  1

[mm] \gdw \sigma^2 [/mm]  =  [mm] a^2 [/mm]

[mm] \gdw \sigma [/mm] = a


Wie man sehen kann, muss b = E(X) = [mm] \mu [/mm] sein, und a = [mm] \wurzel{Var(X)} [/mm] = [mm] \sigma, [/mm] wenn man das X mit einer Zufallsvariable Z beschreiben will, welche die Eigenschaft E(Z) = 0 und Var(Z) = 1 haben soll.

Außerdem sieht man, dass die Transformation von Z zu X, abhängig vom Erwartungswert und der Varianz von X ist.


Ich freue mich auf eure Kritik und Verbesserungen.

Danke nochmals!

















Bezug
                
Bezug
z Formel Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Do 29.04.2021
Autor: HJKweseleit


> hallo HJKweseleit, Gonozal_IX, Infinit
>  Danke für eure Antworten!
>  
> Ich habe ich eure Antworten nochmals studiert und habe mich
> mit einigen freunden ausgetauscht.
>  Ich habe dann gefunden was ich die ganze zeit gesucht habe
> :)
>  Hier meine formal Zusammenfassung:
>  
>
> Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariablen.
>  Es ist möglich eine Zufallsvariable als lineare
> Transformation einer anderen Zufallsvariable darzustellen.
> Formal können wir das so ausdrücken: [mm]Y = aX+b[/mm]
>  
> Dies macht Sinn wenn man darüber nachdenkt, denn wenn wir
> den diskreten Fall betrachten, dann beschreibt Y ein
> Intervall, welches wir mit einem anderen Intervall, welches
> von X beschrieben wird auch erhalten können, solange wir
> es es verschieben und skalieren.
>  
> Im normalverteilten Fall, haben alle normalverteilten
> Zufallsvariablen die gleiche Dichtefunktion, nur mit
> unterschiedlichen Parametern.
>  
> D.h. alle Dichtefunktionen ergeben eine Glockenkurve,
> welche den Flächeninhalt 1 haben, wobei man eine
> Glockenkurve mit einer anderen Glockenkurve beschreiben
> kann, solange man diese verschiebt und skaliert, also
> linear transformiert.
>  
> Betrachten wir diese Glockenkurven, wäre es hilfreich eine
> Glockenkurve zu erhalten, welche einfacher zu lesen und zu
> interpretieren ist.
>  Diese können wir dann als Repräsentanten verwenden, da
> wir zwischen dieser "einfachen" und der gegebenen
> Glockenkurve hin und her springen können.
>  
> Dieses hin und her springen ist möglich, da eine lineare
> Transformation dann einfach umgekehrt werden kann, welche
> algebraisch einfach zu handeln ist und da eine lineare
> Abbildung ein Morphismus ist, erhalten wir Eigenschaften
> wie Strukturerhaltenheit, d.h. der Hochpunkt von einer
> Glockenkurve abgebildet/transformiert auf die andere
> Glockenkurve, bleibt ein Hochpunkt.
>  
> Jetzt ist die Frage, wie soll unsere "einfache"
> Glockenkurve aussehen, welche wir dann als "Standard"
> verwenden? Welche Eigenschaften soll deren Zufallsvariable,
> welche wir mit Z bezeichnen, haben?
>  
> Eine Möglichkeit ist dass diese Standard-Glockenkurve die
> y-Achse als Spiegelachse verwendet. Mathematisch bedeutete
> dass der Erwartungswert an der Stelle 0 liegt, also E(Z) =
> 0.
>  Dies macht man auch bei Funktionsscharen, wo ein
> Symmetriepunkt genommen wird und dieser nach x = 0
> verschoben wird.
>  Ein andere Vorteil dies so zu wählen, ist dass wir Werte
> einfacher interpretieren können, wenn wir eine beliebige
> Zufallsvariable X zu der Zufallsvariable Z überführen,
> d.h. alle negativen Werte von Z liegen links vom
> Erwartungswert und ale positiven Werte von Z liegen rechts
> vom Erwartungswert.
>  
> Jetzt verlangen wir noch das Var(Z) = 1 ist, denn damit
> haben wir eine Distanz die wir einfacher interpretieren und
> merken können, im Gegensatz zu anderen Zahlen, und können
> die relevanten Bereiche der Glockenkurve in 3 Teile links
> und rechts vom Erwartungswert teilen.
>  
> Alle Dinge die wir aufgezählt haben und die wir fordern
> sind formal gesprochen:
>  X = aZ+b mit E(Z) = 0 und Var(Z) = 1
>  
> Wir müssen nun herausfinden was a und b ist, sodass wir
> unsere geforderten Eigenschaften für Z behalten.
>  
> Wir wissen das X = aZ+b, daraus folgt dass Z =
> [mm]\bruch{X-b}{a}[/mm] ist.
>  
> Da X eine beliebige Zufallsvariable ist ist E(X) = [mm]\mu[/mm] und
> Var(X) = [mm]\sigma^2[/mm] mit [mm]\mu,\sigma[/mm] in [mm]\IR[/mm]
>  
> Packen wir das Z in E und Var um a und b zu ermitteln.
>  
> [mm]\gdw E\left(Z\right)[/mm] =  0
>  
> [mm]\gdw E\left(\frac{X - b}{a}\right)[/mm]  =  0
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a} \suppressed{\explicitspace}[/mm] E(X - b)  =  
> 0
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a}[/mm] (E(X) - E(b))  =  0
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a} (\mu[/mm] - b)  =  0
>  
> [mm]\gdw \mu[/mm]  =  b
>  
>
>
> [mm]\gdw[/mm] Var(Z) = 1
>  
> [mm]\gdw E(Z^2)[/mm] - E [mm](Z)^2[/mm] = 1
>  
> [mm]\gdw E\left( \left( \frac{X - \mu}{a} \right)^2 \right)[/mm] -
> [mm]\hspace{2.6em} 0^{2\quad}[/mm] = 1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} \suppressed{\explicitspace}[/mm] E ((X - [mm]\mu)^2)[/mm] = 1




Es ist doch [mm] Var(X)=E((X-\mu)^2) [/mm] laut Definition. [mm] Var(X)=E(X^2) [/mm] - [mm] E(X)^2 [/mm] ist nur eine Äquivalenz dazu. Alles zwischen den beiden Linien kann weg.



>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} \suppressed{\explicitspace}[/mm] E [mm](X^2[/mm] - 2 X
> [mm]\mu[/mm] + [mm]\mu^2)[/mm] = 1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2)[/mm] - [mm]2\mu E(X)[/mm] + [mm]E(\mu^2))[/mm]  =  1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2)[/mm] - [mm]2\mu E(X)[/mm] + [mm]E(\mu^2))[/mm]  =  1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2)[/mm] + 0 - 2 [mm]\mu[/mm] E(X) + [mm]E(\mu^2))[/mm]  =  
> 1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} (E(X^2)[/mm] - [mm]E(X)^2[/mm] + [mm]E(X)^2[/mm] - [mm]2\mu E(X)[/mm] +
> [mm]E(\mu^2))[/mm]  =  1
>  
> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} (\tmop{Var}(X)[/mm] + [mm]\mu^2[/mm] - [mm]2\mu^2[/mm] + [mm]\mu^2)[/mm]
>  =  1
>  




> [mm]\gdw \frac{1}{a^2} \sigma^2[/mm]   =  1
>  
> [mm]\gdw \sigma^2[/mm]  =  [mm]a^2[/mm]
>  
> [mm]\gdw \sigma[/mm] = a
>  
>
> Wie man sehen kann, muss b = E(X) = [mm]\mu[/mm] sein, und a =
> [mm]\wurzel{Var(X)}[/mm] = [mm]\sigma,[/mm] wenn man das X mit einer
> Zufallsvariable Z beschreiben will, welche die Eigenschaft
> E(Z) = 0 und Var(Z) = 1 haben soll.
>  
> Außerdem sieht man, dass die Transformation von Z zu X,
> abhängig vom Erwartungswert und der Varianz von X ist.
>  
>
> Ich freue mich auf eure Kritik und Verbesserungen.
>  
> Danke nochmals!



Ja, alles prima zusammengefasst und erklärt.


Bezug
                        
Bezug
z Formel Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Do 29.04.2021
Autor: Matheias

Vielen Dank!

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