zariski topologie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 19.10.2005 | | Autor: | anitram |
hallo!!!
ich soll beweisen dass die zariski topologie noethersch ist, also dass jede absteigende folge von abgeschlossenen mengen stationär wird.
und ich habe leider noch gar keine idee wie man das zeigen kann...
vielleicht kann mir jemand helfen einen ansatz dafür zu finden???
ich weiß nämlich gar nicht wie ich anfangen soll!
vielen dank schon mal!
lg anitram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Martina :)
Ich finde die Aussage anschaulich recht klar. Betrachten wir doch einmal den Ring [mm] $\IZ$ [/mm] und das System [mm] ${\cal A}$ [/mm] der abgeschlossenen Mengen in seiner Zariski-Topologie. Genau dann ist [mm] $X\subset spec(\IZ)$ [/mm] abgeschlossen, wenn es ein Ideal $J$ von [mm] $\IZ$ [/mm] gibt, sodass [mm] $X=X_J=\{P\in spec(\IZ)| J\subset P\}$. [/mm] Bekanntlich ist jede Untergruppe, insbesondere also auch jedes Ideal $J$ von [mm] $\IZ$ [/mm] der Form $(j)$ für ein [mm] $j\in \IZ$, [/mm] sodass [mm] $X_J$ [/mm] genau die Menge der Primärideale ist, die $(j)$ enthalten. Für [mm] $j=\prod_{i\in I} p_i^\mu_i$ [/mm] sind dies genau die Primärideale [mm] $(p_i^\lambda)$ [/mm] für ein [mm] $i\in I,\lambda\leq\mu_i$. [/mm] Insbesondere ist also [mm] $X_J$ [/mm] endlich, d.h. es kann keine unendlichem, nicht-stationäre Kette von abgeschlossenen Mengen geben: jede in [mm] $X_J$ [/mm] enthaltene abgeschlossene Menge $X$ muss nämlich der Form [mm] $X_K$ [/mm] für $K=(k)$ mit $k|j$ sein - insbesondere kann [mm] $X_K$ [/mm] nur Potenzen von Primidealen enthalten, die schon in [mm] $X_J$ [/mm] enthalten waren.
Ich weiß nicht, ob dir dieser Sonderfall hilft, schließlich lässt er sich nur auf Ringe verallgemeinern, in denen jedes Ideal nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist. Vielleicht hilft es dir ja trotzdem.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Lieber Hanno!
Dein Beweis lässt sich zumindestens auf noethersche Ringe ohne Probleme verallgemeinern. Für beliebige Ringe sehe ich das nicht, und ich glaube auch nicht, dass $X=spec(A)$ für einen beliebigen Ring $A$ noethersch ist (aber da mag ich mich irren  ).
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Üblich ist ja eher eine etwas andere Definition der Zariski-Topologie als die von Hanno (die aus dem Querenburg stammt).
Es sei $k$ ein Körper und $I [mm] \subset k[X_1,\ldots,X_n]$. [/mm] Für $X=V(I)$ (dies ist die Nullstellenmenge von $I$ in [mm] $k^n$) [/mm] sei $X' [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann (Zariski-)abgeschlossen, wenn es ein Ideal $I' [mm] \supseteq [/mm] I$ gibt mit $X'=V(I')$.
Naja, und dann ist der Beweis trivial und folgt sofort aus dem Hilbert'schen Basissatz. Denn $k$ ist als Körper noethersch und damit (nach Hilbert) auch der Ring [mm] $k[X_1,\ldots,X_n]$. [/mm] Dies wiederum bedeutet aber, dass jede aufsteigende Folge von Idealen stationär ist, was nach obiger Definition wiederum heißt, dass jede absteigende Folge (Zariski-)abgeschlossener Mengen stationär ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mo 24.10.2005 | | Autor: | anitram |
hallo julius!
danke für deine antwort!
es hat mir sehr geholfen und ich weiß wie ichs machen soll!
vielen dank!
lg anitram
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