zeige nicht Vollständigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 23.04.2013 | | Autor: | kandamir |
| Aufgabe | | Der Raum der stetigen Funktionen x :[ a,b] [mm] \to \IR, [/mm] mit der Norm [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] |x(t)|dt ist nicht stetig. |
Mir fällt einfach kein Ansatz zum lösen dieser Aufgabe. Kann mir da jemand weiter helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Der Raum der stetigen Funktionen x :[ a,b] [mm]\to \IR,[/mm] mit der
> Norm [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{1}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] |x(t)|dt
> ist nicht stetig.
Du meinst sicher: " .... nicht vollständig"
> Mir fällt einfach kein Ansatz zum lösen dieser Aufgabe.
> Kann mir da jemand weiter helfen?
Du mußt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] stetiger Funktionen auf [a,b] finden, die bezüglich [mm] ||*||_1 [/mm] eine Cauchyfolge ist, zu der es aber keine auf [a,b] stetige Funktion x gibt mit
[mm] ||x_n-x||_1 \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
das ist nicht ganz einfach. Probier mal (wir können von a=-1 und b=1 ausgehen):
[mm] x_n(t)=-1 [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] -1/n, [mm] x_n(t)=nt [/mm] für-1/n [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1/n und [mm] x_n(t)=1 [/mm] für 1/n [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 23.04.2013 | | Autor: | kandamir |
Also ich habe jetzt auch mal etwas rum gerechnet und überlegt, jedoch verstehe ich einfach nicht wie man auf eine solche Cauchyfolge kommen soll.
Auch deine letzte Zeile verstehe ich nicht ganz wie du darauf kommst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Also ich habe jetzt auch mal etwas rum gerechnet und
> überlegt, jedoch verstehe ich einfach nicht wie man auf
> eine solche Cauchyfolge kommen soll.
Fred hat Dir eine vorgeschlagen. Du sollst nachrechnen,
dass es in dem Raum mit der durch die genannte Norm
induzierten Metrik auch tatsächlich eine Cauchyfolge ist
(wobei Fred sich hier o.B.A. auf [mm] $a=-1\,$ [/mm] und [mm] $b=1\,$ [/mm] beschränkt
hat - das wäre auch kurz zu begründen, warum das reicht!).
Und am Ende musst Du zeigen, dass diese Cauchyfolge aber in
[mm] $C[-1,1]\,$ [/mm] keine Grenzfunktion haben kann. (Wie auch immer Du
das machst, meinetwegen mit "Angenommen, es gäbe doch eine...")
> Auch deine letzte Zeile verstehe ich nicht ganz wie du
> darauf kommst.
Alleine auf sowas kommen ist nicht ganz einfach. Dafür braucht man
Geduld und ein paar Ideen. Ich weiß jetzt nicht, ob Fred sich das selbst
überlegt hat, aber ich erinnere mich, dass sowas relativ am Anfang von
"Dirk Werner, Funktionalanalysis" steht. Jedenfalls etwas in der Art,
denn ich habe das selbst mal nachgerechnet. Übrigens auch generell
ein Buch, in das man öfters mal einen Blick werfen sollte!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > Also ich habe jetzt auch mal etwas rum gerechnet und
> > überlegt, jedoch verstehe ich einfach nicht wie man auf
> > eine solche Cauchyfolge kommen soll.
>
> Fred hat Dir eine vorgeschlagen. Du sollst nachrechnen,
> dass es in dem Raum mit der durch die genannte Norm
> induzierten Metrik auch tatsächlich eine Cauchyfolge ist
> (wobei Fred sich hier o.B.A. auf [mm]a=-1\,[/mm] und [mm]b=1\,[/mm]
> beschränkt
> hat - das wäre auch kurz zu begründen, warum das
> reicht!).
> Und am Ende musst Du zeigen, dass diese Cauchyfolge aber
> in
> [mm]C[-1,1]\,[/mm] keine Grenzfunktion haben kann. (Wie auch immer
> Du
> das machst, meinetwegen mit "Angenommen, es gäbe doch
> eine...")
>
> > Auch deine letzte Zeile verstehe ich nicht ganz wie du
> > darauf kommst.
>
> Alleine auf sowas kommen ist nicht ganz einfach. Dafür
> braucht man
> Geduld und ein paar Ideen. Ich weiß jetzt nicht, ob Fred
> sich das selbst
> überlegt hat,
Nein, er gibt zu dass er das nicht hat. Dieses Beispiel gehört zu Freds "Grundaustattung" in seinen Vorlesungen.
FRED
> aber ich erinnere mich, dass sowas relativ
> am Anfang von
> "Dirk Werner, Funktionalanalysis" steht. Jedenfalls etwas
> in der Art,
> denn ich habe das selbst mal nachgerechnet. Übrigens auch
> generell
> ein Buch, in das man öfters mal einen Blick werfen
> sollte!
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
|
