zeigen dass 1/2 > 0 ist < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen oder widerlegen Sie
geg.:
a.) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K ,a<b, [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] K: a < x < b
b.) [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K,a < b: a < x < b
zu.a.: Die Grundidee ist doch dass man das ganze durch 2 teilt
sprich a = a/2 + a/2 < a/2 + b/2 < b/2 + b/2 =b
Doch die Frage ist jetzt wie komme ich auf das a/2
Ánsatz:
1/2 > 0
2 = 1+ 1 -> Kehrwert muss auch null sein
Irgendwie mit dem Ansatz muss es gehen dass man auf das a/2 kommt.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:39 Di 09.11.2004 | | Autor: | taura |
Bist du überhaupt sicher, dass die beiden Aussagen gelten? Betrachte zum Beispiel K = [mm] \IZ. [/mm] Wähle a=2, b=3. Dann gilt:
[mm]2<3[/mm]
Aber es existiert kein x aus [mm] \IZ [/mm] das dazwischen liegt.
Ebenso bei b): Wähle x=2 und betrachte a=2, b=3. Hier gilt nicht
[mm]2<2[/mm]
also gilt die Aussage nicht für alle a aus [mm] \IZ
[/mm]
Voraussetzung für diese Aussagen ist die Vollständigkeit, die eine Eigenschaft von [mm] \IR [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Di 09.11.2004 | | Autor: | taura |
Hi Marc,
danke für dein Willkommen :)
hab den Körper überlesen.. ;)
Gruß Biggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper,
> Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen oder widerlegen Sie
>
> geg.:
> a.) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] K ,a<b, [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] K: a < x < b
> b.) [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] K,a < b: a < x <
> b
>
> zu.a.: Die Grundidee ist doch dass man das ganze durch 2
> teilt
> sprich a = a/2 + a/2 < a/2 + b/2 < b/2 + b/2 =b
So ist's! Du mußt nur formal etwas aufpassen, dass du das, was du hinschreibst, auch hinschreiben darfst.
(Es ist ja hier die Frage, was du eigentlich z.B. mit [mm] $\frac{a}{2}$ [/mm] meinst. Du kannst ja nicht ein Element des Körpers durch eine reelle Zahl teilen und dann sagen, dass das Ergebnis wieder im Körper sei. Sondern:
Da $K$ Körper [mm] $\Rightarrow$ $1_K+1_K \in [/mm] K$
[mm] $\Rightarrow$ $2*1_K \in [/mm] K$ (so ist das Produkt: "natürliche Zahl mal Körperelement" definiert: [mm] $n*a=\summe_{k=1}^n{a}$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \in [/mm] K$)
[mm] $\Rightarrow$ $\exists (2*1_K)^{-1} \in [/mm] K$ mit [mm] $(2*1_K)(2*1_K)^{-1}=1_K$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Definiere die Schreibweise [mm] $\frac{a}{2}:=a*(2*1_K)^{-1}$, [/mm] dann könntest du deine obige Rechnung sogar so stehen lassen (wenn du in der "Mitte" anstatt [mm] $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$ [/mm] halt [mm] $\frac{a+b}{2}$ [/mm] schreiben würdest), mit einer kleinen Abschätzung und Folgerung vorher. Siehe dazu Skript, unten!
Aber, wenn ich länger drüber nachdenke:
Am besten definierst du diese Schreibweise nicht, denn ich denke, sie ist eher verwirrend und würde höchstens dazu dienen, das ganze wie gewohnt zu notieren, was den Beweis aber auch nicht verkürzen würde!)
Da ich nicht gerne bereits geschriebenes wieder schreibe (es sei denn, mein Gedächtnis läßt mich im Stich oder mich interessiert, ob ich die Aufgabe wieder alleine lösen könnte, was hier aber nicht der Fall ist, da ich das ganze schon 1000-mal durchgekaut habe  ), verweise ich mal auf ein Skript:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis
[mm] $\to$ [/mm] Satz 3.4, S.19, skriptinterne Zählung oben rechts!
Liebe Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:55 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
Zu b)
angenommen, es existiert so ein $x$. Seien dann [mm] $a_0,b_0 \in [/mm] K$ fest mit [mm] $a_0
[mm] $(\star)$ $a_0
Setzen wir nun [mm] $a_1:=a_0-1_K$, [/mm] so gilt [mm] $a_1 \in [/mm] K$, da ja [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $1_K$ [/mm] Elemente von $K$ sind.
Ferner gilt
[mm] $1_K [/mm] > [mm] 0_K$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $-1_K<0_K$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $a_0-1_K
Mit [mm] $(\star)$ [/mm] und dem Transitivgesetz folgt also:
[mm] $a_1=a_0-1_K
D.h. wir haben Elemente [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_0$ [/mm] aus $K$ gefunden, die beide echt kleiner als $x$ sind. Wegen des Trichotomiegesetzes erhalten wir also einen Widerspruch, also ist die Aussage b) falsch!
Viele Grüße,
Marcel
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an alle
es gibt doch auch endliche Körper? Für solche kann doch Aussage a. nicht gelten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Friedrich!
> es gibt doch auch endliche Körper? Für solche kann doch
> Aussage a. nicht gelten?
Endliche Körper sind aber keine geordneten Körper.
Mit Induktion kann man nämlich folgern, dass in einem geordneten Körper [mm] $\IK$ [/mm] jede endliche Summe von Einsen positiv ist:
$0 < 1+1+...+1$.
Daraus folgt wiederum, dass die Charakteristik von [mm] $\IK$ [/mm] gleich $0$ ist, also der Körper insbesondere ein isomorphes Bild von [mm] $\IQ$ [/mm] enthält und nicht endlich sein kann.
Liebe Grüße
Stefan
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
