zeigen dass diffbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $D\subset \IR^N$ [/mm] offen, [mm] $0\in [/mm] D$, [mm] $f:D\rightarrow \IR$ [/mm] differenzierbar in [mm] $0\in [/mm] D$, $f(0)=0$, [mm] $g:D\rightarrow\IR$ [/mm] stetig in $0$.
z.z. das Produkt [mm] $F:D\rightarrow\IR, [/mm] F(x)=f(x)g(x), [mm] x\in [/mm] D$ ist differenzierbar in $0$. Geben Sie die Ableitung an. |
Hallo,
zuerst habe ich mir überlegt, wie denn die Ableitung aussehen könnte. Wenn $g$ differenzierbar wäre, dann wäre die Ableitung:
$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, also im Nullpunkt $f'(0)g(0)+f(0)g'(0)=f'(0)g(0)$.
Nun schaue ich mir den Differenzialquotienten an, um zu überprüfen, ob das tatsächlich die Ableitung ist:
[mm] $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(0)-f'(0)g(0)\cdot(x-0)}{||x-0||} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f'(0)g(0)\cdot x}{||x||}$
[/mm]
Nun addiere ich eine "intelligente Null":
= [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(x)+f(0)g(x)-f'(0)g(0)\cdot x}{||x||} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(x)}{||x||} +\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(0)g(x)-f'(0)g(0)\cdot x}{||x||} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}g(x)\frac{f(x)-f(0)}{||x||} +\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(0)g(x)-f'(0)g(0)\cdot x}{||x||}$
[/mm]
links habe ich nun den Differenzenquotienten von $f$ und rechts verschwindet $f(0)g(0)$:
$ = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}g(x) -\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f'(0)g(0)\cdot x}{||x||} [/mm] = [mm] g(0)f'(0)-f'(0)g(0)\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{||x||}$
[/mm]
Nun komme ich nicht weiter. Weiß ich irgendwoher, was mit [mm] $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{||x||}$ [/mm] passiert? Geht das idealerweise gegen 1? Oder ist schon mein Ansatz irgendwie falsch?
Danke! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 03.10.2011 | | Autor: | hippias |
Ich finde Deinen Ansatz zwar etwas kompliziert, aber er scheint nicht verkehrt zu sein. Zu Deiner Frage: Weshalb teilst Du ueberhaupt durch $||x||$? Sollest Du dann nicht auch im Zaehler die entsprechende Norm anwenden? Dann koennte sich der stoerende Term wegkuerzen.
Mein Ansatz ginge so (Achtung Spoiler!)
[mm] $\lim_{x\to 0} \bruch{f(x)g(x)-f(0)g(0)}{x}= \lim_{x\to 0} g(x)\bruch{f(x)}{x}= \lim_{x\to 0} g(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x}=...$ [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich finde Deinen Ansatz zwar etwas kompliziert, aber er
> scheint nicht verkehrt zu sein. Zu Deiner Frage: Weshalb
> teilst Du ueberhaupt durch [mm]||x||[/mm]? Sollest Du dann nicht
> auch im Zaehler die entsprechende Norm anwenden? Dann
> koennte sich der stoerende Term wegkuerzen.
>
> Mein Ansatz ginge so (Achtung Spoiler!)
> [mm]\lim_{x\to 0} \bruch{f(x)g(x)-f(0)g(0)}{x}= \lim_{x\to 0} g(x)\bruch{f(x)}{x}= \lim_{x\to 0} g(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x}=...[/mm]
Wenn D [mm] \subset \IR [/mm] wäre, so wäre Dein Ansatz in Ordnung. Es ist aber D [mm] \subset \IR^N, [/mm] darf man durch Vektoren dividieren ... ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Di 04.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(0)-f'(0)g(0)\cdot(x-0)}{||x-0||} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)-f'(0)g(0)\cdot x}{||x||} [/mm] $
Das kann nicht funktionieren:
$f(x)g(x)$ und $f(0)g(0)$ sind reelle Zahlen, [mm] $f'(0)g(0)\cdot(x-0)$ [/mm] ist ein Vektor. Zahl minus Vektor funktioniert nicht.
Wo kommt der Term auch her? Hast Du da nicht eh mit [mm] $\| x-0\|$ [/mm] erweitert? Dann würde sich damit ja Dein Problem am Schluß lösen.
> Nun addiere ich eine "intelligente Null":
f(0)g(x)=0 ist völlig ohne Unterstützung eine intelligente Null. Du führst zusätzlich -f(0)g(x) ein, nur um es dann zwei Gleichheitszeichen später wieder mit der Begründung f(0)g(x)=0 zu streichen. =)
> links habe ich nun den Differenzenquotienten von $ f $ und rechts verschwindet $ f(0)g(0) $:
> $ = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow0}g(x) -\ldots$
[/mm]
???
ciao
Stefan
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Zu zeigen ist:
[mm]\frac{f(x)g(x)-g(0)f'(0)x}{|x|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
Vielleicht sollte man sich erst einmal zum Produkt [mm]g(0)f'(0)x[/mm] seine Gedanken machen. Hier ist nämlich [mm]g(0)[/mm] ein Skalar, also eine 1×1-Matrix, [mm]f'(0)[/mm] ein Zeilenvektor, also eine 1×N-Matrix, und [mm]x[/mm] ein Spaltenvektor, also eine N×1-Matrix. Das Produkt der drei Matrizen ergibt dann wieder einen Skalar. Die von Balendilin gewählte Reihenfolge der Faktoren erscheint mir nicht günstig, da die Matrizen so nicht miteinander multipliziert werden können, auch wenn man, indem man eine der Multiplikationen nicht als Matrizenmultiplikation, sondern als skalare Multiplikation "Skalar mal Matrix" auffaßt, argumentieren mag, daß der Skalar [mm]g(0)[/mm] überall stehen kann. Wie auch immer, da das Matrizenprodukt "Zeile mal Spalte" mit dem Standardskalarprodukt zweier Vektoren übereinstimmt, schlage ich [mm]\langle f'(0),x \rangle[/mm] als Schreibweise vor. Und jetzt ist es auch egal, ob man sich diese Vektoren als Zeilen oder Spalten vorstellt. Die Schreibweise bewahrt einen auch davor, im Folgenden "dumme Sachen" zu machen, etwa ungültige Vertauschungen vorzunehmen.
Zu zeigen ist also:
[mm]\frac{f(x)g(x)-g(0) \cdot \langle f'(0),x \rangle}{|x|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
Im Zähler steht eine reelle Zahl. Ein reeller Term strebt aber genau dann gegen 0, wenn sein Betrag gegen 0 strebt. Man kann daher im Zähler zum Betrag übergehen. Es ist daher
[mm]\frac{\left| f(x)g(x)-g(0) \cdot \langle f'(0),x \rangle \right|}{|x|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
nachzuweisen. Die Striche im Nenner bezeichnen die euklidische Norm.
Das Limeszeichen sollte man nicht die ganze Zeit mitschleppen. Es ist ja am Anfang überhaupt nicht geklärt, ob die ganzen Grenzwerte überhaupt existieren. Limeszeichen rechtfertigen sich immer erst im nachhinein. Im übrigen braucht man sie auch gar nicht.
Die Sache mit der "intelligenten Null" ist die richtige Idee. Die "intelligente Null" ist aber hier [mm]\langle f'(0),x \rangle \cdot g(x)[/mm]. Damit sieht der Term von oben so aus:
[mm]\frac{\left| \left( f(x) - \langle f'(0),x \rangle \right) \cdot g(x) + \langle f'(0),x \rangle \cdot \left( g(x) - g(0) \right) \right|}{|x|}[/mm]
Und nun das Übliche: Mit der Dreiecksungleichung wird das Ganze so zerlegt, daß man erkennen kann, daß beide Summanden für [mm]x \to 0[/mm] gegen 0 streben, womit dann auch der ursprüngliche Term gegen 0 strebt (Beträge!). Beim einen Summanden ist es die Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm], beim andern die Stetigkeit von [mm]g[/mm] an der Stelle 0. Man braucht auch noch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung [mm]\left| \langle u,v \rangle \right| \leq |u| |v|[/mm].
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Danke für deine Antwort! Aber zwei Kleinigkeiten verstehe ich leider noch nicht:
> Zu zeigen ist:
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> [mm]\frac{f(x)g(x)-g(0)f'(0)x}{|x|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
>
> Vielleicht sollte man sich erst einmal zum Produkt
> [mm]g(0)f'(0)x[/mm] seine Gedanken machen. Hier ist nämlich [mm]g(0)[/mm]
> ein Skalar, also eine 1×1-Matrix, [mm]f'(0)[/mm] ein Zeilenvektor,
> also eine 1×N-Matrix, und [mm]x[/mm] ein Spaltenvektor, also eine
> N×1-Matrix. Das Produkt der drei Matrizen ergibt dann
> wieder einen Skalar. Die von Balendilin gewählte
> Reihenfolge der Faktoren erscheint mir nicht günstig, da
> die Matrizen so nicht miteinander multipliziert werden
> können, auch wenn man, indem man eine der Multiplikationen
> nicht als Matrizenmultiplikation, sondern als skalare
> Multiplikation "Skalar mal Matrix" auffaßt, argumentieren
> mag, daß der Skalar [mm]g(0)[/mm] überall stehen kann. Wie auch
> immer, da das Matrizenprodukt "Zeile mal Spalte" mit dem
> Standardskalarprodukt zweier Vektoren übereinstimmt,
> schlage ich [mm]\langle f'(0),x \rangle[/mm] als Schreibweise vor.
> Und jetzt ist es auch egal, ob man sich diese Vektoren als
> Zeilen oder Spalten vorstellt. Die Schreibweise bewahrt
> einen auch davor, im Folgenden "dumme Sachen" zu machen,
> etwa ungültige Vertauschungen vorzunehmen.
>
ich finde, ich kann die Matrizen f'(0) und x ganz "normal" mit einander multiplizieren. Du schreibst ja selber, dass f'(0) eine [mm] N\times1-Matrix [/mm] und x eine [mm] 1\times [/mm] N-Matrix ist. Die passen also ganz genau zusammen. Im Gegensatz zum Skalarprodukt, wo ich nur zwei [mm] N\times1-Matrizen [/mm] mit einander multiplizieren darf. Das ist hier also schon das normale Matrizenprodukt.
> Und nun das Übliche: Mit der Dreiecksungleichung wird das
> Ganze so zerlegt, daß man erkennen kann, daß beide
> Summanden für [mm]x \to 0[/mm] gegen 0 streben, womit dann auch der
> ursprüngliche Term gegen 0 strebt (Beträge!). Beim einen
> Summanden ist es die Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm], beim andern
> die Stetigkeit von [mm]g[/mm] an der Stelle 0. Man braucht auch noch
> die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung [mm]\left| \langle u,v \rangle \right| \leq |u| |v|[/mm].
Ich finde, man kann hier deswegen auch nicht die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwenden, da ich auf der linken Seite gar kein Skalarprodukt habe.
Und damit bleibt also das Problem, dass ich nicht weiß, was für [mm] x\rightarrow0 [/mm] mit [mm] \frac{||f'(0)x||}{||x||} [/mm] passiert.
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Ja, du kannst die Matrizen [mm]f'(0)[/mm] (Zeile) und [mm]x[/mm] (Spalte) ganz normal miteinander multiplizieren. Aber du hattest in deinem ersten Beitrag die Reihenfolge [mm]f'(0) g(0) x[/mm], und das geht eigentlich nicht, es sei denn, man liest es so: [mm]f'(0) \cdot \left( g(0) \* x \right)[/mm]. Für den Augenblick soll der Punkt die Matrizenmultiplikation und der Stern die skalare Multiplikation bezeichnen.
Wie du die Vektoren schreibst, ob als Zeilen oder Spalten, ist völlig gleichgültig, solange du sie nicht im Matrizenkalkül verwendest. Erst dort ist die richtige Orientierung entscheidend. Daher kann man ruhig [mm]\langle f'(0),x \rangle[/mm] schreiben. Aber man braucht es selbstverständlich nicht. Wenn dir die Matrizenmultiplikation lieber ist ... Aber dann auf die Reihenfolge achten!
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt:
[mm]\frac{\left| \langle f'(0),x \rangle \right|}{|x|} \leq \frac{\left| f'(0) \right| \left| x \right|}{|x|} = \left| f'(0) \right|[/mm]
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> Ja, du kannst die Matrizen [mm]f'(0)[/mm] (Zeile) und [mm]x[/mm] (Spalte)
> ganz normal miteinander multiplizieren. Aber du hattest in
> deinem ersten Beitrag die Reihenfolge [mm]f'(0) g(0) x[/mm], und das
> geht eigentlich nicht, es sei denn, man liest es so: [mm]f'(0) \cdot \left( g(0) \* x \right)[/mm].
> Für den Augenblick soll der Punkt die
> Matrizenmultiplikation und der Stern die skalare
> Multiplikation bezeichnen.
>
> Wie du die Vektoren schreibst, ob als Zeilen oder Spalten,
> ist völlig gleichgültig, solange du sie nicht im
> Matrizenkalkül verwendest. Erst dort ist die richtige
> Orientierung entscheidend. Daher kann man ruhig [mm]\langle f'(0),x \rangle[/mm]
> schreiben. Aber man braucht es selbstverständlich nicht.
> Wenn dir die Matrizenmultiplikation lieber ist ... Aber
> dann auf die Reihenfolge achten!
>
> Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt:
>
> [mm]\frac{\left| \langle f'(0),x \rangle \right|}{|x|} \leq \frac{\left| f'(0) \right| \left| x \right|}{|x|} = \left| f'(0) \right|[/mm]
Wenn ich f'(0)x aber als Matrixmultiplikation und nicht als Skalarmultiplikation auffassen würde, dann könnte ich doch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung nicht anwenden, oder? Bin grad vielleicht ein bisschen verwirrt, vielleicht verwirrt mich aber auch ein bisschen die Schreibweise von dir:
ich habe ja f'(0)x und das ist - als Skalarprodukt geschrieben - das selbe wie [mm] [/mm] (transponiert deshalb, denn ich brauche ja f'(0) als Spaltenvektor). Und erst darauf kann ich die C-S-Ungleichung anwenden. Oder verstehe ich irgendwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ja, du kannst die Matrizen [mm]f'(0)[/mm] (Zeile) und [mm]x[/mm] (Spalte)
> > ganz normal miteinander multiplizieren. Aber du hattest in
> > deinem ersten Beitrag die Reihenfolge [mm]f'(0) g(0) x[/mm], und das
> > geht eigentlich nicht, es sei denn, man liest es so: [mm]f'(0) \cdot \left( g(0) \* x \right)[/mm].
> > Für den Augenblick soll der Punkt die
> > Matrizenmultiplikation und der Stern die skalare
> > Multiplikation bezeichnen.
> >
> > Wie du die Vektoren schreibst, ob als Zeilen oder Spalten,
> > ist völlig gleichgültig, solange du sie nicht im
> > Matrizenkalkül verwendest. Erst dort ist die richtige
> > Orientierung entscheidend. Daher kann man ruhig [mm]\langle f'(0),x \rangle[/mm]
> > schreiben. Aber man braucht es selbstverständlich nicht.
> > Wenn dir die Matrizenmultiplikation lieber ist ... Aber
> > dann auf die Reihenfolge achten!
> >
> > Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt:
> >
> > [mm]\frac{\left| \langle f'(0),x \rangle \right|}{|x|} \leq \frac{\left| f'(0) \right| \left| x \right|}{|x|} = \left| f'(0) \right|[/mm]
>
>
> Wenn ich f'(0)x aber als Matrixmultiplikation und nicht als
> Skalarmultiplikation auffassen würde, dann könnte ich
> doch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung nicht anwenden, oder?
> Bin grad vielleicht ein bisschen verwirrt, vielleicht
> verwirrt mich aber auch ein bisschen die Schreibweise von
> dir:
> ich habe ja f'(0)x und das ist - als Skalarprodukt
> geschrieben - das selbe wie [mm][/mm] (transponiert
> deshalb, denn ich brauche ja f'(0) als Spaltenvektor). Und
> erst darauf kann ich die C-S-Ungleichung anwenden. Oder
> verstehe ich irgendwas falsch?
Nein, Du verstehst nichts falsch. Es ist f'(0) [mm] \in \IR^n [/mm] und x [mm] \in \IR^n. [/mm] Für das Skalarprodukt der beiden gilt dann:
$f'(0)*x [mm] \le [/mm] |f'(0)*x| [mm] \le [/mm] ||f'(0)||*||x||$
FRED
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Obwohl fred97 schon geantwortet hat, hier mein Beitrag dazu, den ich gleichzeitg verfaßt hatte.
Nehmen wir eine Zeile, eine Spalte und die Matrizenmultiplikation:
[mm]a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_N \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix}[/mm]
[mm]a \cdot b = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_N \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_N b_N[/mm]
Und jetzt das Skalarprodukt:
[mm]\langle a,b \rangle = \langle \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_N b_N[/mm]
Du siehst, da ist kein Unterschied. Vielleicht stört es dich, daß ich [mm]a[/mm] unvermittelt als Spalte schreibe (ich hätte auch [mm]b[/mm] als Zeile schreiben können). Wenn du ganz konsequent sein willst, dann schreibe dafür [mm] a^{\top}. [/mm] Es ist jedoch nicht nötig, hier äußerste Konsequenz walten zu lassen. Ich bin eher etwas legerer und schreibe im begleitenden Text der Lösung lieber so etwas wie "Das Matrizenprodukt Zeile mal Spalte identifizieren wir mit dem Skalarprodukt, indem wir die Vektoren etwa als Spalten interpretieren". Das Wörtchen "etwa" drückt aus, daß es auf die genaue Darstellung gar nicht ankommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Di 04.10.2011 | | Autor: | Balendilin |
> Obwohl fred97 schon geantwortet hat, hier mein Beitrag
> dazu, den ich gleichzeitg verfaßt hatte.
>
> Nehmen wir eine Zeile, eine Spalte und die
> Matrizenmultiplikation:
>
> [mm]a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_N \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]a \cdot b = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_N \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_N b_N[/mm]
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> Und jetzt das Skalarprodukt:
>
> [mm]\langle a,b \rangle = \langle \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_N b_N[/mm]
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> Du siehst, da ist kein Unterschied. Vielleicht stört es
> dich, daß ich [mm]a[/mm] unvermittelt als Spalte schreibe (ich
> hätte auch [mm]b[/mm] als Zeile schreiben können). Wenn du ganz
> konsequent sein willst, dann schreibe dafür [mm]a^{\top}.[/mm] Es
> ist jedoch nicht nötig, hier äußerste Konsequenz walten
> zu lassen. Ich bin eher etwas legerer und schreibe im
> begleitenden Text der Lösung lieber so etwas wie "Das
> Matrizenprodukt Zeile mal Spalte identifizieren wir mit dem
> Skalarprodukt, indem wir die Vektoren etwa als Spalten
> interpretieren". Das Wörtchen "etwa" drückt aus, daß es
> auf die genaue Darstellung gar nicht ankommt.
Danke! Genau das hat mich ein bisschen irritiert, da ich nicht wusste, ob es absichtlich oder unabsichtlich geschehen ist. Aber absichtlich leger ist ja ok 
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