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Forum "Uni-Stochastik" - zentraler Grenzwertsatz
zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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zentraler Grenzwertsatz: Varianz der summe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Fr 14.09.2007
Autor: Bonnie13

Also ich soll zeigen , dass die Varianz der Summe im Grenzwertsatz gleich 1 ist. Wie berechne ich das?
P(a< [mm] n^-1\cdot \summe_{i=1}^{n}( x_i-EX_1) [/mm] <b)also es geht um die Varianz von der summe mal n hoch -eins.
Wäre echt dankbar für eure anmerkungen..hab schon überall gesucht.
lg Bonnie


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
zentraler Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Fr 14.09.2007
Autor: luis52

Moin Bonnie13,


zunaechst erst einmal ein herzliches [willkommenmr]

Koenntest du bitte einmal den genauen Wortlaut der Aufgabe nennen.
So, wie du das hier aufgeschrieben hast, kann man es nicht beweisen,
da *diese* Aussage im allgemeinen falsch ist.


lg
Luis    

PS: Schau mal hier unter Standardisierung.

[]http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Funktionen_von_Zufallsvariablen


Bezug
                
Bezug
zentraler Grenzwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Fr 14.09.2007
Autor: Bonnie13

zentraler Grenzwertsatz:
Sind [mm] X_1, X_2 [/mm] ... unabhängige identisch verteilt mit [mm] Mittelwert\mu=EX_1 [/mm] und Varianz [mm] sigma^2 =E(X_1-EX_1)^2, [/mm] so gilt für beliebige a,b mit a<b
[mm] P(a Man soll jetzt zeigen , dass das was zwischen a und b steht die varianz 1 hat.
Hoffe das ist hilfreicher.
dake schonmal

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zentraler Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Fr 14.09.2007
Autor: luis52

Moin ,


Ah, schon besser, aber nicht gut genug. Ich vermute, da steht

[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\mu}{\sigma}$ [/mm]

(Das [mm] $\sigma$ [/mm] fehlt in deinen Formeln.) Wenn das stimmt, dann kannst du
so argumentieren. Betrachte [mm] $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$. [/mm] Dann gilt
[mm] $\operatorname{E}[Y_n]=n\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[Y_n]=n\sigma^2$. [/mm]
Jetzt standardisieren wir [mm] $Y_n$: [/mm]

[mm] $\frac{Y_n-\operatorname{E}[Y_n]}{\sqrt{\operatorname{Var}[Y_n]}} [/mm]
[mm] =\frac{\sum X_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\mu}{\sigma}$ [/mm]

Dass aber jede Standardisierung einer Zufallsvariablen den
Erwartungswert Null und die Varianz Eins (nicht, wie du in deiner
letzten Mitteilung schreibst, [mm] $\sigma^2$) [/mm] hat, wird in dem von mir
genannten Link gezeigt.


lg
Luis                

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zentraler Grenzwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Fr 14.09.2007
Autor: Bonnie13

Ach ja die Frage war aus einm Prüfungsprotokoll und dass war wahrscheinlich nicht vollständig.Danke für deine antwort , die hat mir sehr geholfen.
Wie wäre denn die Varianz,wenn die Aufgabe so lautet wie ich es geschrieben habe? War auch eine Frage in einer anderen Prüfung. Kann man die Varianz dann berechnen?
Und wenn ja wie??
Danke nochmal

Bezug
                        
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zentraler Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Fr 14.09.2007
Autor: luis52


>  Wie wäre denn die Varianz,wenn die Aufgabe so lautet wie
> ich es geschrieben habe? War auch eine Frage in einer
> anderen Prüfung. Kann man die Varianz dann berechnen?
>  Und wenn ja wie??


Hallo Bonni13,


du hast zwei Versionen... Ich betrachte mal die zweite:


[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)=\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)$. [/mm]


Es ist

[mm] $\operatorname{E}[\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)]=\frac{1}{\sqrt{n}}(\operatorname{E}[Y_n]-n\mu)=0$ [/mm]

und

[mm] $\operatorname{Var}[\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)]=\frac{1}{n}\operatorname{var}[Y_n]=\frac{n\sigma^2}{n}=\sigma^2$. [/mm]

lgluis


Bezug
                                
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zentraler Grenzwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Fr 14.09.2007
Autor: Bonnie13

Danke schonmal, aber ich verstehe nicht wie aus der [mm] 1/\wurzel[2]{n} [/mm] ein [mm] 1/\n [/mm] wird  und wohin ist das [mm] \mu*n [/mm] ?
Kannst du vielleicht diesen Schritt besser erläutern, ich muss das evtl in einer mündlichen Prüfung erklären können.
Danke
lg Bonnie

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zentraler Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Fr 14.09.2007
Autor: luis52


> Danke schonmal, aber ich verstehe nicht wie aus der
> [mm]1/\wurzel[2]{n}[/mm] ein [mm]1/n[/mm] wird  und wohin ist das [mm]\mu*n[/mm] ?
>  Kannst du vielleicht diesen Schritt besser erläutern, ich
> muss das evtl in einer mündlichen Prüfung erklären können.


Hm, leider weiss ich nicht, worauf du dies beziehst.  Sei $X$ eine
Zufallsvariable und [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] feste Zahlen. Dann gelten die alten Bauernregeln:

[mm] $\operatorname{E}[aX+b]=a\operatorname{E}[X]+b$ [/mm]

und

[mm] $\operatorname{Var}[aX+b]=a^2\operatorname{Var}[X]$. [/mm]

Die habe ich ausgenutzt. (Beliebte Frage in muendlichen Pruefungen:
Beweisen Sie diese Gleichungen...)


lgluis

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zentraler Grenzwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 Fr 14.09.2007
Autor: Bonnie13

Oh je, da stand ich aber auf dem Schlauch. Ja jetzt ist mir alles klar.
Hab wohl gestern zu lange gelernt.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!

lg Bonnie

Bezug
                                                        
Bezug
zentraler Grenzwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Fr 14.09.2007
Autor: luis52


> Oh je, da stand ich aber auf dem Schlauch. Ja jetzt ist mir
> alles klar.
>  Hab wohl gestern zu lange gelernt.
>  Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!


Gerne.

lgluis

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