zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] P:=X^3-5 \in \IQ[X].Zeigen [/mm] sie
a)Für [mm] a_1:=5^{1/3},a_2:=exp(2*\pi*i/3)*5^{1/3},a_3:=exp(4*\pi*i/3)*5^{1/3} [/mm] sind [mm] \IQ(a_1),\IQ(a_2),\IQ(a_3) [/mm] isomorph,und für [mm] j\not=k [/mm] ist [mm] \IQ(a_j) \cap \IQ(a_k)=\IQ.
[/mm]
b)Der Zerfällungskörper K von P ist [mm] \IQ[5^{1/3},(-3)^{1/2}],und [/mm] er ist vom Grad 6 über [mm] \IQ. [/mm] |
Hey,
Also zu der a) habe ich nicht wirklich eine Idee.Ich weiß nur,dass je zwei Zerfällungskörper von P über [mm] \IQ [/mm] isomorph sind.
Bei der b) dachte ich mir,dass der Grad 6 sein muss,da [mm] [\IQ(5^{1/3}),(-3)^{1/2} [/mm] : [mm] \IQ ]=[\IQ(5^{1/3} [/mm] , [mm] (-3)^{1/2} [/mm] ) : [mm] \IQ(5^{1/3}) ]*[\IQ(5^{1/3}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ]=2*3,
da das Minimalpoly. von [mm] 5^{1/3} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] , [mm] X^3-5^{1/3} [/mm] ist(mit Eisenstein) ,also Grad 3.
und das Minim.von [mm] 5^{1/3} [/mm] über [mm] \IQ(5^{1/3}) [/mm] ist [mm] X-5^{1/3} [/mm] und von [mm] (-3)^{1/2} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist [mm] X^2+3,irr.
[/mm]
aber wie zeige ich das mit dem Zerfällungskörper?
Würde mich sehr über Hilfe freuen und wäre sehr dankbar.
Lieben Gruß
Eva Marie
|
|
| |
|
Hallo:
zum Formeleditor:
Schreibe Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {}
Also 5^{1/3} ergibt [mm] $5^{1/3}$
[/mm]
Exponenten als Brüche darzustellen ist auch möglich: 5^{\bruch{1}{3}}, das gibt [mm] $5^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,keine Hilfe in Sicht?:(((schade...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]P:=X^3-5 \in \IQ[X].Zeigen[/mm] sie
> a)Für
> [mm]a_1:=5^{1/3},a_2:=exp(2*\pi*i/3)*5^{1/3},a_3:=exp(4*\pi*i/3)*5^{1/3}[/mm]
> sind [mm]\IQ(a_1),\IQ(a_2),\IQ(a_3)[/mm] isomorph,und für [mm]j\not=k[/mm]
> ist [mm]\IQ(a_j) \cap \IQ(a_k)=\IQ.[/mm]
> b)Der Zerfällungskörper
> K von P ist [mm]\IQ[5^{1/3},(-3)^{1/2}],und[/mm] er ist vom Grad 6
> über [mm]\IQ.[/mm]
>
> Also zu der a) habe ich nicht wirklich eine Idee.Ich weiß
> nur,dass je zwei Zerfällungskörper von P über [mm]\IQ[/mm]
> isomorph sind.
Nun, wenn du [mm] $\IQ(a)$ [/mm] hast, und $f [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] das Minimalpolynom von $a$ ist, dann ist [mm] $\IQ(a) \cong \IQ[x]/(f)$.
[/mm]
Zeig doch einfach, dass [mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] das gleiche Minimalpolynom haben: daraus folgt [mm] $\IQ(a_1) \cong \IQ(a_2) \cong \IQ(a_3)$.
[/mm]
Dass [mm] $\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] = [mm] \IQ(a_1) \cap \IQ(a_3)$ [/mm] ist folgt daraus, dass alle Elemente in [mm] $\IQ(a_i) \setminus \IQ$, [/mm] $i > 1$ echte komplexe Zahlen sind (warum? rechne doch mal den Imaginaerteil eines beliebigen Elementes aus), waehrend [mm] $\IQ(a_1)$ [/mm] komplett in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
Schliesslich musst du dann nur noch [mm] $\IQ(a_2) \cap \IQ(a_3) [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] zeigen. Entweder nimmst du dir ein allgemeines Element aus [mm] $\IQ(a_2)$ [/mm] und guckst, wann es in [mm] $\IQ(a_3)$ [/mm] liegt (naemlich dann wenn es in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt) oder du benutzt ein wenig mehr Theorie, um nur [mm] $a_2$ [/mm] selber anzuschauen und zu zeigen, dass es nicht in [mm] $\IQ(a_3)$ [/mm] liegt (dazu beachte dass [mm] $\IQ(a_2) \cap \IQ(a_3)$ [/mm] ein Unterkoerper ist, und schau den Satz ueber Multiplizitaet von Koerpergraderweiterungen an).
> Bei der b) dachte ich mir,dass der Grad 6 sein muss,da
> [mm][\IQ(5^{1/3}),(-3)^{1/2}[/mm] : [mm]\IQ ]=[\IQ(5^{1/3}[/mm] , [mm](-3)^{1/2}[/mm]
> ) : [mm]\IQ(5^{1/3}) ]*[\IQ(5^{1/3})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ]=2*3,
> da das Minimalpoly. von [mm]5^{1/3}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] , [mm]X^3-5^{1/3}[/mm]
> ist(mit Eisenstein) ,also Grad 3.
Soweit ok.
> und das Minim.von [mm]5^{1/3}[/mm] über [mm]\IQ(5^{1/3})[/mm] ist [mm]X-5^{1/3}[/mm]
Was zum Kuckuck tust du hier?
> und von [mm](-3)^{1/2}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ist [mm]X^2+3,irr.[/mm]
Das ist so, reicht aber noch lang nicht aus. Du musst das Minimalpolynom von [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(5^{1/3})$ [/mm] bestimmen. Da das Minimalpolynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] Grad 2 hast, wie du gerade bestimmt hast, reicht es aus zu zeigen, dass [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ(5^{1/3})$ [/mm] liegt. (Tipp dazu: [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] ist eine echt komplexe Zahl.)
> aber wie zeige ich das mit dem Zerfällungskörper?
Na, der Zerfaellungskoerper von $P$ ist [mm] $\IQ(a_1, a_2, a_3)$, [/mm] da $P = (x - [mm] a_1) [/mm] (x - [mm] a_2) [/mm] (x - [mm] a_3)$ [/mm] ist (klar warum das so ist?). Du musst also zeigen, dass [mm] $a_1, \dots, a_3 \in \IQ(5^{1/3}, (-3)^{1/2})$ [/mm] liegen und dass [mm] $5^{1/3}$ [/mm] und [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] in [mm] $\IQ(a_1, a_2, a_3)$ [/mm] liegen.
Allerdings habe ich ehrlich gesagt Zweifel, dass [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] wirklich in [mm] $\IQ(a_1, a_2, a_3)$ [/mm] liegt (und somit die umgekehrte Inklusion ebenfalls nicht geht). Kann es sein, dass es [mm] $(-1)^{1/2}$ [/mm] heissen sollte?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
Vielen,vielen Dank für deine super Hilfe!Also um auf deinen ersten Tipp einzugehen:
Zeig doch einfach, dass [mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] das gleiche Minimalpolynom haben: daraus folgt [mm] $\IQ(a_1) \cong \IQ(a_2) \cong \IQ(a_3)$. [/mm]
...dachte ich mir,dass [mm] x^3-5 [/mm] das Minimpol. von [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist,da es keine Nullst. in [mm] \IQ [/mm] hat und vom Grad 3 höchstens 3 Nst.hat (also diese 3) [mm] \Rightarrow [/mm] P [mm] irred.\Rightarrow [/mm] P minip. v. [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
Dass [mm] $\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] = [mm] \IQ(a_1) \cap \IQ(a_3)$ [/mm] ist folgt daraus, dass alle Elemente in [mm] $\IQ(a_i) \setminus \IQ$, [/mm] $i > 1$ echte komplexe Zahlen sind (warum? rechne doch mal den Imaginaerteil eines beliebigen Elementes aus), waehrend [mm] $\IQ(a_1)$ [/mm] komplett in [mm] $\IR$ [/mm] liegt
[mm] ...ok,a_2=-1/2+i*(\wurzel{3}/2)
[/mm]
[mm] a_3=-1/2-i*(\wurzel{3}/2)
[/mm]
Hier versteh ich jetzt aber nicht warum [mm] $\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] = [mm] \IQ(a_1) \cap \IQ(a_3)$ [/mm] gelten soll.
[mm] \IQ(a_1)= {{a+b*(5)^{1/3}:a,b \in \IQ}}
[/mm]
[mm] \IQ(a_2)= {a+b*(-1/2+i*\wurzel{3}/2):a,b \in \IQ}
[/mm]
---> [mm] b*(-1/2+i*\wurzel{3})=(5)^{1/3} [/mm] ...???
[mm] $\IQ(a_2) \cap \IQ(a_3) [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm]
Da [mm] a+b*(-1/2+i*\wurzel{3}/2)=a+b*(-1/2-i*\wurzel{3}/2)
[/mm]
gilt nur,wenn b=0 also a [mm] \in \IQ.???
[/mm]
.....Das ist so, reicht aber noch lang nicht aus. Du musst das Minimalpolynom von [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(5^{1/3})$ [/mm] bestimmen. Da das Minimalpolynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] Grad 2 hast, wie du gerade bestimmt hast, reicht es aus zu zeigen, dass [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ(5^{1/3})$ [/mm] liegt. (Tipp dazu: [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] ist eine echt komplexe Zahl.)
...Wäre [mm] (-3)^{1/2} \in \IQ [/mm] dann wäre(aber das kann ich mir ja auch eigentlich sparen oder?,da ja [mm] i*(3)^{1/2} [/mm] komplex ist):
[mm] (-3)^{1/2}=a+b*(5)^{1/3}
[/mm]
[mm] -3=a^2+2*a*b*5^{1/3}+b^2*5^{2/3}
[/mm]
und dann mit einer Fallunterscheidung
[mm] 1.Fall:a=0:b^2*5^{2/3}=-3 \gdw [/mm] +- [mm] (-3)^{1/2}/5^{1/6} \in \IQ(widerspruch)
[/mm]
Fall 2: b=0 --> [mm] a=+-(-3)^{1/2} \in \IQ(widerspruch) [/mm]
Fall 3: [mm] a\not=0 [/mm] & [mm] b\not=0 [/mm] --->...weiß net so recht weiter.
Es heißt wirklich [mm] (-3)^{1/2}.Um [/mm] zu zeigen,dass [mm] a_1,..,a_3 \in \IQ(a_1,...,a_3) [/mm] liegt,prüft man da für alle a's ob sie gleich [mm] a+b*(5)^{1/3} [/mm] und [mm] (-3)^{1/2} [/mm] sind?
LG
Eva marie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Mi 15.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Eva marie!
> Zeig doch einfach, dass [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] das gleiche
> Minimalpolynom haben: daraus folgt [mm]\IQ(a_1) \cong \IQ(a_2) \cong \IQ(a_3)[/mm].
>
> ...dachte ich mir,dass [mm]x^3-5[/mm] das Minimpol. von [mm]a_1,a_2,a_3[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm] ist,
Genau.
> da es keine Nullst. in [mm]\IQ[/mm] hat und vom Grad 3
> höchstens 3 Nst.hat (also diese 3) [mm]\Rightarrow[/mm] P
> irred.
Dieses Argument funktioniert aber auch nur, da der Grad von $P$ 3 ist (fuer Grad 2 geht es auch).
> [mm]\Rightarrow[/mm] P minip. v. [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
Ja.
> Dass [mm]\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) = \IQ = \IQ(a_1) \cap \IQ(a_3)[/mm]
> ist folgt daraus, dass alle Elemente in [mm]\IQ(a_i) \setminus \IQ[/mm],
> [mm]i > 1[/mm] echte komplexe Zahlen sind (warum? rechne doch mal
> den Imaginaerteil eines beliebigen Elementes aus), waehrend
> [mm]\IQ(a_1)[/mm] komplett in [mm]\IR[/mm] liegt
>
> [mm]...ok,a_2=-1/2+i*(\wurzel{3}/2)[/mm]
> [mm]a_3=-1/2-i*(\wurzel{3}/2)[/mm]
> Hier versteh ich jetzt aber nicht warum [mm]\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) = \IQ = \IQ(a_1) \cap \IQ(a_3)[/mm]
> gelten soll.
Erstmal:
> [mm]\IQ(a_1)= {{a+b*(5)^{1/3}:a,b \in \IQ}}[/mm]
> [mm]\IQ(a_2)= {a+b*(-1/2+i*\wurzel{3}/2):a,b \in \IQ}[/mm]
das stimmt so nicht! Dies gilt nur dann, wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] Minimalpolynome vom Grad 2 haben; hier hast du aber Grad 3! Es gilt [mm] $\IQ(a_1) [/mm] = [mm] \{ a + b a_1 + c a_1^2 \mid a, b, c \in \IQ \}$ [/mm] und [mm] $\IQ(a_2) [/mm] = [mm] \{ a' + b' a_2 + c' a_2^2 \mid a', b', c' \in \IQ \}$.
[/mm]
> ---> [mm]b*(-1/2+i*\wurzel{3})=(5)^{1/3}[/mm] ...???
Was tust du da?!
Nehmen wir mal ien Element aus [mm] $\IQ(a_2)$, [/mm] etwa $x = a' + b' [mm] a_2 [/mm] + c' [mm] a_2^2$ [/mm] mit $a', b', c' [mm] \in \IQ$. [/mm] Es ist [mm] $\Im [/mm] x = a' + b' [mm] \Im a_2 [/mm] + c' [mm] \Im a_2^2$. [/mm] Nun ist [mm] $\Im a_2 [/mm] = [mm] \Im((-1/2 [/mm] + i [mm] \sqrt{3}/2) 5^{1/3}) [/mm] = [mm] \sqrt{3}/2 \cdot 5^{1/3}$ [/mm] und [mm] $\Im a_2^2 [/mm] = [mm] \Im((-1/2 [/mm] - i [mm] \sqrt{3}/2) 5^{2/3}) [/mm] = [mm] -\sqrt{3}/2 \cdot 5^{2/3}$. [/mm] Damit gilt [mm] $\Im [/mm] x = (b' [mm] 5^{1/3} [/mm] - c' [mm] 5^{2/3}) \sqrt{3}/2$. [/mm] Dies ist genau dann 0, also $x [mm] \in \IR$, [/mm] wenn $b' [mm] 5^{1/3} [/mm] - c' [mm] 5^{2/3} [/mm] = 0$ ist. Dies kann aber nur dann sein (warum?), wenn $b' = c' = 0$ sind; also gilt $x = a' [mm] \in \IQ$.
[/mm]
Da [mm] $\IQ(a_1)$ [/mm] komplett in [mm] $\IR$ [/mm] liegt, gilt also [mm] $\IQ(a_1) \cap \IQ(a_2) \subseteq \IR \cap \IQ(a_2) [/mm] = [mm] \IQ$.
[/mm]
> [mm]\IQ(a_2) \cap \IQ(a_3) = \IQ[/mm]
> Da [mm]a+b*(-1/2+i*\wurzel{3}/2)=a+b*(-1/2-i*\wurzel{3}/2)[/mm]
> gilt nur,wenn b=0 also a [mm]\in \IQ.???[/mm]
Vorsicht! Erstmal darfst du nicht auf beiden Seiten das gleiche $a$ und $b$ verwenden! Und dir fehlt halt $c$. Und warum daraus folgt $a = a'$, $b = 0 = b'$, $c = 0 = c'$ folgt musst du noch zeigen.
> .....Das ist so, reicht aber noch lang nicht aus. Du musst
> das Minimalpolynom von [mm](-3)^{1/2}[/mm] ueber [mm]\IQ(5^{1/3})[/mm]
> bestimmen. Da das Minimalpolynom ueber [mm]\IQ[/mm] Grad 2 hast, wie
> du gerade bestimmt hast, reicht es aus zu zeigen, dass
> [mm](-3)^{1/2}[/mm] nicht in [mm]\IQ(5^{1/3})[/mm] liegt. (Tipp dazu:
> [mm](-3)^{1/2}[/mm] ist eine echt komplexe Zahl.)
>
> ...Wäre [mm](-3)^{1/2} \in \IQ[/mm] dann wäre(aber das kann ich
> mir ja auch eigentlich sparen oder?,da ja [mm]i*(3)^{1/2}[/mm]
> komplex ist):
> [mm](-3)^{1/2}=a+b*(5)^{1/3}[/mm]
Wieder: das $c$ fehlt.
> [mm]-3=a^2+2*a*b*5^{1/3}+b^2*5^{2/3}[/mm]
> und dann mit einer Fallunterscheidung
> [mm]1.Fall:a=0:b^2*5^{2/3}=-3 \gdw[/mm] +- [mm](-3)^{1/2}/5^{1/6} \in \IQ(widerspruch)[/mm]
>
> Fall 2: b=0 --> [mm]a=+-(-3)^{1/2} \in \IQ(widerspruch)[/mm]
> Fall 3: [mm]a\not=0[/mm] & [mm]b\not=0[/mm] --->...weiß net so recht
> weiter.
Geht schon, aber warum so kompliziert? Es gilt [mm] $\IQ(a_1) \subseteq \IR$, [/mm] und [mm] $(-3)^{1/2} \not\in \IR$. [/mm] Damit folgt [mm] $(-3)^{1/2} \not\in \IQ(a_1)$.
[/mm]
> Es heißt wirklich [mm](-3)^{1/2}.[/mm]
Ok.
> Um zu zeigen,dass [mm]a_1,..,a_3 \in \IQ(a_1,...,a_3)[/mm] liegt,
Das ist per Definition so! Und das willst du auch gar nicht zeigen.
> prüft man da für alle a's ob sie gleich
> [mm]a+b*(5)^{1/3}[/mm] und [mm](-3)^{1/2}[/mm] sind?
Du musst zeigen: [mm] $a_1, a_2, a_3 \in \IQ(5^{1/3}, (-3)^{1/2})$. [/mm] Dazu musst du die [mm] $a_i$ [/mm] durch rationale Ausdruecke in [mm] $5^{1/3}$ [/mm] und [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] ausdruecken, mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$.
[/mm]
Und du musst zeigen [mm] $5^{1/3}, (-3)^{1/2} \in \IQ(a_1, a_2, a_3)$. [/mm] Dazu musst du die [mm] $5^{1/3}$ [/mm] und [mm] $(-3)^{1/2}$ [/mm] durch rationale Ausdruecke in [mm] $a_1$, $a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] ausdruecken, mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Allerdings habe ich ehrlich gesagt Zweifel, dass [mm](-3)^{1/2}[/mm]
> wirklich in [mm]\IQ(a_1, a_2, a_3)[/mm] liegt (und somit die
> umgekehrte Inklusion ebenfalls nicht geht). Kann es sein,
> dass es [mm](-1)^{1/2}[/mm] heissen sollte?
Ist nicht [mm] a_2 [/mm] = [mm] -\bruch{a_1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{a_1}{2}*\wurzel{-3} [/mm] und [mm] a_3 [/mm] = [mm] -\bruch{a_1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{a_1}{2}*\wurzel{-3}
[/mm]
Oder bin ich jetzt von der Rolle?
Gruß
Dieter
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Di 14.07.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter,
> Ist nicht [mm]a_2[/mm] = [mm]-\bruch{a_1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{a_1}{2}*\wurzel{-3}[/mm] und [mm]a_3[/mm] = [mm]-\bruch{a_1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{a_1}{2}*\wurzel{-3}[/mm]
>
> Oder bin ich jetzt von der Rolle?
nein, da hast du Recht!
LG Felix
|
|
|
|
