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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Do 19.04.2007 | | Autor: | Mitch |
Hey!
Ich habe mal ein paar Fragen zum besseren Verständnis.
1. Ist die Signatur einer beliebigen hermiteschen Matrix immer (k,0) oder (0,k)?
ich würde "nein" sagen, weil nach Definition gibt die Signatur ja die Anzahl der neg., pos., und 0 - Eigenwerte an. wobei Anzahl der pos. = p, Anzahl der neg. = q und Anzahl der O -Eigenwerte = n - p
Demnach könnte die Signatur zwar (k,0), aber nicht (0,k) sein. Somit wäre die Aussage falsch!
2. Definiert die Determinante eine Sesquilinearform auf C² x C²; (v,w) -> det(v,w)
ich würde eindeutig "nein" sagen, weil es die Axiome nicht erfüllt!
3. Sei A hermitesche Matrix. Gilt: positiv definit <=> die von 0 verschiedenen Eigenwerte von A sind positiv ??
meiner Meinung nach gilt die Äquivalenz NICHT, weil die Eigenwerte nicht alle zwingend positiv sein müssen, damit die Matrix positiv definit ist.
4. Eine komplexe hermitesche Form auf einem komplexen VR ist immer auch eine reelle symmetrische Form auf einem reellen VR.
ich würde wieder "nein" sagen, weil hermitesche Form antilinear im zweiten Argument ist und somit kann es ja keine reelle symm. Form sein.
Und dann noch zwei Fragen, wo ich gar keinen blassen Schimmer habe:
Ob die folgende Bilinearform positiv definit oder/und nicht ausgeartet ist:
V sei der Raum der beschränkten Funktionen auf [mm] \IR [/mm], das Paar [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] , [mm] (b_k)_{k\in\IN} [/mm] wird auf [mm] \summe_{i}^{} \bruch{a_{2^i}b_{3^i}}{5^i} [/mm] abgebildet.
ich bitte um Hilfe!!!
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Hallo Mitch,
ich versuch mich mal 
> Hey!
> Ich habe mal ein paar Fragen zum besseren Verständnis.
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> 1. Ist die Signatur einer beliebigen hermiteschen Matrix
> immer (k,0) oder (0,k)?
>
> ich würde "nein" sagen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , weil nach Definition gibt die
> Signatur ja die Anzahl der neg., pos., und 0 - Eigenwerte
> an. wobei Anzahl der pos. = p, Anzahl der neg. = q und
> Anzahl der O -Eigenwerte = n - p
> Demnach könnte die Signatur zwar (k,0), aber nicht (0,k)
> sein. Somit wäre die Aussage falsch! ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
versteh ich nicht - wenn die Form keine positiven und k negative Einträge auf der Diagonale hat, würde das passen - aber was ist mit pos. def. Formen auf einem VR mit dim=2r? Da hat doch die zugehörige Diagonalmatrix 2r positive Einträge auf der Diag., also Aussage falsch
>
> 2. Definiert die Determinante eine Sesquilinearform auf C²
> x C²; (v,w) -> det(v,w)
>
> ich würde eindeutig "nein" sagen, weil es die Axiome nicht
> erfüllt! zumindest eines nicht, ja!
>
> 3. Sei A hermitesche Matrix. Gilt: positiv definit <=> die
> von 0 verschiedenen Eigenwerte von A sind positiv ??
>
> meiner Meinung nach gilt die Äquivalenz NICHT,![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") weil die
> Eigenwerte nicht alle zwingend positiv sein müssen, damit
> die Matrix positiv definit ist.
Doch, ist ein Satz der VL - wenn ein Eintrag negativ oder 0 ist, ist die Form nicht mehr positiv definit
>
> 4. Eine komplexe hermitesche Form auf einem komplexen VR
> ist immer auch eine reelle symmetrische Form auf einem
> reellen VR.
>
> ich würde wieder "nein" sagen, weil hermitesche Form
> antilinear im zweiten Argument ist und somit kann es ja
> keine reelle symm. Form sein.
Im Reellen ist doch [mm] $\overline{x}=x$, [/mm] also müsste das m.E passen
> Und dann noch zwei Fragen, wo ich gar keinen blassen
> Schimmer habe:
>
> Ob die folgende Bilinearform positiv definit oder/und nicht
> ausgeartet ist:
>
> V sei der Raum der beschränkten Funktionen auf [mm]\IR [/mm], das
> Paar [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] , [mm](b_k)_{k\in\IN}[/mm] wird auf
> [mm]\summe_{i}^{} \bruch{a_{2^i}b_{3^i}}{5^i}[/mm] abgebildet.
Ich glaube, da kann man jeweils ein Gegenbsp konstruieren.
> ich bitte um Hilfe!!!
Hoffe, das passt so in etwa - ist aber alles ohne Gewähr
Gruß
schachuzipus
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hallo zusammen,
> Im Reellen ist doch [mm]\overline{x}=x[/mm], also müsste das m.E
> passen
>
was ist denn zum beispiel mit der der hermiteschen Form die z.B. dargestellt wird durch foglgende Matrix: [mm] \pmat{1 & i\\i & 1} [/mm] ??
Die ist doch nicht automatisch ne Bilinearform auf dem reellen Vektorraum oder??also ich mein nicht....oder könnt ihr mich eines besseren Belehren??
Vg, der mathedepp_No.1
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Hallo md,
Also wenn die Matrix $A= [mm] \pmat{1 & i\\i & 1} [/mm] $ eine hermitesche Form darstellen soll, muss sie eine hermitesche Matrix sein, also muss gelten
$A=$ [mm] $^t\overline{A}$, [/mm] aber [mm] $^t\overline{A}=\pmat{1 & -i\\-i & 1}\ne [/mm] A$
Also ist deine Matrix nicht Darstellungsmatrix einer hermiteschen Form.
Wenn $A$ eine hermitesche Form $b$ auf einem [mm] $\IC-VR$ [/mm] $V$ repräsentiert, so ist $b(v,w)=$ [mm] $^t\overline{v}Aw$ $\forall v,w\in [/mm] V$
Sind $v,w$ aus einem reellen VR, so ist [mm] $\overline{v}=v$ [/mm] und das ergibt die Darstellung einer BLF im Reellen.
Die Symmetrie folgt aus der hermiteschen Eigenschaft [mm] $b(v,w)=\overline{b(w,v)}$, [/mm] was im Reellen wieder $b(w,v)$ - also genau die Symmetrie ist.
Gruß
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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