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Forum "Uni-Stochastik" - zwei Urnen
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zwei Urnen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Fr 10.06.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, liebe Helfenden! :-)

Eine gar nicht mal so schwere Stochastik-Frage, die ich gelöst habe und gerne bestätigt haben würde:

Urne I beinhaltet 2 weiße und 4 rote Kugeln. Urne II enthält 1 weiße und 1 rote Kugel. Nun zieht man zufällig eine Kugel aus Urne I und legt sie in die Urne II. Danach zieht man zufällig eine Kugel aus Urne II.

Berechnen soll man:

1.) die Wahrscheinlichkeit, dass die aus Urne II genommene Kugel weiß ist.

2.) die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass man eine weiße Kugel von Urne I in Urne II gelegt hat, gegeben, dass die aus Urne II gezogene Kugel weiß ist.

Hier sind meine Ideen, von denen ich gerne wüsste, ob ich richtig liege:

1.)

Ich hab ein Baumdiagramm gezeichnet und heraus, dass die gesuchte W. 4/9 beträgt.

2.)

Bezeichne

A="weiße Kugel aus Urne I gezogen und in Urne II gelegt"

B="Die aus Urne II gezogene Kugel ist weiß."

Man sucht [mm]P(A|B)[/mm].

Ich hab berechnet:

[mm]P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{4/9}[/mm]

[mm]P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)=\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}[/mm]

Also [mm]P(A|B)=\frac{2/27}{4/9}=\frac{1}{6}[/mm].


Würde mich sehr freuen, wenn jemand "okay" sagt oder mir andernfalls helfen kann.

Dankesehr!

LG

mikexx
        
Bezug
zwei Urnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Fr 10.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo, liebe Helfenden! :-)
>  
> Eine gar nicht mal so schwere Stochastik-Frage, die ich
> gelöst habe und gerne bestätigt haben würde:
>  
> Urne I beinhaltet 2 weiße und 4 rote Kugeln. Urne II
> enthält 1 weiße und 1 rote Kugel. Nun zieht man zufällig
> eine Kugel aus Urne I und legt sie in die Urne II. Danach
> zieht man zufällig eine Kugel aus Urne II.
>  
> Berechnen soll man:
>  
> 1.) die Wahrscheinlichkeit, dass die aus Urne II genommene
> Kugel weiß ist.
>  
> 2.) die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass man eine weiße
> Kugel von Urne I in Urne II gelegt hat, gegeben, dass die
> aus Urne II gezogene Kugel weiß ist.
>  Hier sind meine Ideen, von denen ich gerne wüsste, ob ich
> richtig liege:
>  
> 1.)
>  
> Ich hab ein Baumdiagramm gezeichnet und heraus, dass die
> gesuchte W. 4/9 beträgt.    [ok]
>  
> 2.)
>  
> Bezeichne
>  
> A="weiße Kugel aus Urne I gezogen und in Urne II gelegt"
>  
> B="Die aus Urne II gezogene Kugel ist weiß."
>  
> Man sucht [mm]P(A|B)[/mm].
>  
> Ich hab berechnet:
>  
> [mm]P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{4/9}[/mm]    [ok]
>  
> [mm]P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)=\frac{2}{\red{9}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}[/mm]    [notok]

Es ist P(B|A) = [mm] \frac{2}{3} [/mm]  und nicht [mm] \frac{2}{9} [/mm]  !
  
> Also [mm]P(A|B)=\frac{2/27}{4/9}=\frac{1}{6}[/mm].    [notok]


LG    Al-Chw.
Bezug
                
Bezug
zwei Urnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Fr 10.06.2011
Autor: mikexx

(a) ist also korrekt. Super.

(b) Da kommt dann [mm]P(A|B)=1/2[/mm] heraus.


Mein Fehler war doch, dass ich bei [mm]P(B|A)[/mm] die "erste Stufe" des Baumdiagramms mitbeachtet habe.

Man setzt ja aber sozusagen (da Ereignis A als erfüllt vorausgesetzt wird) erst bei der "zweiten Stufe" des Baumdiagramms an und hier muss man nur den Fall beachten, dass man eine weiße Kugel aus Urne II zieht. Deswegen ist [mm]P(B|A)=2/3[/mm].

Korrekte Fehleranalyse?


Danke für die Korrektur!
Bezug
                        
Bezug
zwei Urnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 10.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> (a) ist also korrekt. Super.
>  
> (b) Da kommt dann [mm]P(A|B)=1/2[/mm] heraus.
>  
>
> Mein Fehler war doch, dass ich bei [mm]P(B|A)[/mm] die "erste Stufe"
> des Baumdiagramms mitbeachtet habe.

... und damit hast du ja schon [mm] P(B|A)*P(A)=P(A\cap{B}) [/mm] hinge-
schrieben statt nur  $\ P(B|A)$ ...

> Man setzt ja aber sozusagen (da Ereignis A als erfüllt
> vorausgesetzt wird) erst bei der "zweiten Stufe" des
> Baumdiagramms an und hier muss man nur den Fall beachten,
> dass man eine weiße Kugel aus Urne II zieht. Deswegen ist
> [mm]P(B|A)=2/3[/mm].
>  
> Korrekte Fehleranalyse?

[daumenhoch] Ja !  
>
> Danke für die Korrektur!

LG   Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
zwei Urnen: Dankesehr!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 Fr 10.06.2011
Autor: mikexx

Vielen lieben Dank!
Bezug
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