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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - zyklische Galoiserw vom Grad 4
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zyklische Galoiserw vom Grad 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Sa 22.01.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Sei $L [mm] \subset \IC$ [/mm] ein Teilkörper, sodass [mm] $L/\IQ$ [/mm] zyklische Galoiserweiterung vom Grad 4 ist. Man zeige. Es besitzt [mm] $L/\IQ$ [/mm] genau einen echten Zwischenkörper E, und für diesen gilt $E [mm] \subset \IR$. [/mm]

Hallo,

der letzte Teil der Frage bereitet mir Schwierigkeiten.
Also, ich weiß dass $ord [mm] \: Gal(L/\IQ) [/mm] = 4$ und [mm] $Gal(L/\IQ)\:$ [/mm] zyklisch $ [mm] \Rightarrow Gal(L/\IQ) \cong \IZ/4\IZ$. [/mm] Damit ist [mm] $\{0,2\}$ [/mm] die einzige echte Untergruppe der Galoisgruppe und der zugehörige Fixkörper E der einzige echte Zwischenkörper der Erweiterung. Für diesen gilt [mm] $[E:\IQ] [/mm] = [mm] \frac{[L:\IQ]}{[\IZ/4\IZ:\{0,2\}]}=2$. [/mm]
Stimmt das bis hier?

Nun bleibt zu zeigen, dass $E [mm] \subset \IR$. [/mm] Wie kann ich hier ran gehen?


LG Lippel

        
Bezug
zyklische Galoiserw vom Grad 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 So 23.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]L \subset \IC[/mm] ein Teilkörper, sodass [mm]L/\IQ[/mm] zyklische
> Galoiserweiterung vom Grad 4 ist. Man zeige. Es besitzt
> [mm]L/\IQ[/mm] genau einen echten Zwischenkörper E, und für diesen
> gilt [mm]E \subset \IR[/mm].
>  Hallo,
>  
> der letzte Teil der Frage bereitet mir Schwierigkeiten.
>  Also, ich weiß dass [mm]ord \: Gal(L/\IQ) = 4[/mm] und
> [mm]Gal(L/\IQ)\:[/mm] zyklisch [mm]\Rightarrow Gal(L/\IQ) \cong \IZ/4\IZ[/mm].
> Damit ist [mm]\{0,2\}[/mm] die einzige echte Untergruppe der
> Galoisgruppe und der zugehörige Fixkörper E der einzige
> echte Zwischenkörper der Erweiterung. Für diesen gilt
> [mm][E:\IQ] = \frac{[L:\IQ]}{[\IZ/4\IZ:\{0,2\}]}=2[/mm].
>  Stimmt das
> bis hier?

Ja.

> Nun bleibt zu zeigen, dass [mm]E \subset \IR[/mm]. Wie kann ich hier
> ran gehen?

Ueberlege dir zuerst, dass der eindeutige nicht-triviale Automorphismus von $E$ im Fall $E [mm] \not\subseteq \IR$ [/mm] durch die komplexe Konjugation gegeben ist. Sei [mm] $\sigma [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$ ebenfalls die komplexe Konjugation. Da $E$ nicht im Fixkoerper von [mm] $\sigma$ [/mm] liegt (falls $E [mm] \not\subseteq \IR$), [/mm] so muss [mm] $\sigma$ [/mm] ein Erzeuger der Galoisgruppe von $L / [mm] \IQ$ [/mm] sein (warum?). Jedoch hat [mm] $\sigma$ [/mm] die Ordnung 2 und nicht 4, womit dies einen Widerspruch gibt.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
zyklische Galoiserw vom Grad 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Mo 24.01.2011
Autor: Lippel

Hallo,
  

> > Nun bleibt zu zeigen, dass [mm]E \subset \IR[/mm]. Wie kann ich hier
> > ran gehen?
>  
> Ueberlege dir zuerst, dass der eindeutige nicht-triviale
> Automorphismus von [mm]E[/mm] im Fall [mm]E \not\subseteq \IR[/mm] durch die
> komplexe Konjugation gegeben ist.

Sei [mm] $\alpha \in E\backslash{\IR} \Rightarrow$ [/mm] Da [mm] $[E:\IQ] [/mm] = 2$ ist [mm] $deg\: min_\IQ(\alpha) [/mm] = 2$. Nach der pq-Formel ist [mm] $\alpha [/mm] = a+bi, a [mm] \in \IQ, [/mm] b [mm] \in \IR \Rightarrow \overline{\alpha} [/mm] = a-bi = 2a - [mm] \alpha \in [/mm] E$. Damit ist also zu jedem Element aus E das komplex Konjugierte auch in E.
Damit ist die komplexe Konjugation ein [mm] $\IQ$-Automorphismus [/mm] von E. Und da [mm] $[E:\IQ] [/mm] = 2$ ist $ord [mm] \: Gal(L/\IQ) [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow Gal(L/\IQ)$ [/mm] enthält nur die Identität und die komlpexe Konjugation.

> Sei [mm]\sigma : L \to L[/mm]
> ebenfalls die komplexe Konjugation. Da [mm]E[/mm] nicht im
> Fixkoerper von [mm]\sigma[/mm] liegt (falls [mm]E \not\subseteq \IR[/mm]), so
> muss [mm]\sigma[/mm] ein Erzeuger der Galoisgruppe von [mm]L / \IQ[/mm] sein
> (warum?).

Da [mm] $L/\IQ$ [/mm] zyklische Erweiterung existiert ein [mm] $\tau \in Aut_\IQ(L): Gal(L/\IQ) [/mm] = [mm] \{1,\tau,\tau^2,\tau^3\} \Rightarrow \{1,\tau^2\}$ [/mm] ist die einzige echte Untergruppe der Galoisgruppe und entspricht gerade dem Zwischenkörper E. Da aber E nicht im Fixkörper von [mm] $\sigma \in Gal(L/\IQ)$ [/mm] liegt, ist [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau$ [/mm] oder [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau^3 \Rightarrow Gal(L/\IQ) [/mm] = [mm] <\sigma>$. [/mm] Damit ergibt sich dann der Widerspruch den du beschrieben hast.
Stimmt das so?

Vielen Dank für deine Hilfe Felix. Die Aufgabe hat sehr zum allgemeinen Verständnis beigetragen.

LG Lippel

Bezug
                        
Bezug
zyklische Galoiserw vom Grad 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mo 24.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> > > Nun bleibt zu zeigen, dass [mm]E \subset \IR[/mm]. Wie kann ich hier
> > > ran gehen?
>  >  
> > Ueberlege dir zuerst, dass der eindeutige nicht-triviale
> > Automorphismus von [mm]E[/mm] im Fall [mm]E \not\subseteq \IR[/mm] durch die
> > komplexe Konjugation gegeben ist.
>
> Sei [mm]\alpha \in E\backslash{\IR} \Rightarrow[/mm] Da [mm][E:\IQ] = 2[/mm]
> ist [mm]deg\: min_\IQ(\alpha) = 2[/mm]. Nach der pq-Formel ist
> [mm]\alpha = a+bi, a \in \IQ, b \in \IR \Rightarrow \overline{\alpha} = a-bi = 2a - \alpha \in E[/mm].

Warum ist $a [mm] \in \IQ$? [/mm] Das musst du genauer begruenden.

Du kannst dir uebrigens auch ueberlegen, dass jede quadratische Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] von der Form [mm] $\IQ(\sqrt{D})$ [/mm] ist mit einer quadratfreien ganzen Zahl $D [mm] \neq [/mm] 0, 1$. Weiterhin gilt [mm] $\IQ(\sqrt{D}) \subseteq \IR \Leftrightarrow [/mm] D > 0$, und der nicht-triviale Automorphismus ist durch [mm] $\sqrt{D} \mapsto -\sqrt{D}$ [/mm] gegeben.

> Damit ist also zu jedem Element aus E das komplex
> Konjugierte auch in E.
>  Damit ist die komplexe Konjugation ein [mm]\IQ[/mm]-Automorphismus
> von E. Und da [mm][E:\IQ] = 2[/mm] ist [mm]ord \: Gal(L/\IQ) = 2 \Rightarrow Gal(L/\IQ)[/mm]
> enthält nur die Identität und die komlpexe Konjugation.

[ok]

> > Sei [mm]\sigma : L \to L[/mm]
> > ebenfalls die komplexe Konjugation. Da [mm]E[/mm] nicht im
> > Fixkoerper von [mm]\sigma[/mm] liegt (falls [mm]E \not\subseteq \IR[/mm]), so
> > muss [mm]\sigma[/mm] ein Erzeuger der Galoisgruppe von [mm]L / \IQ[/mm] sein
> > (warum?).
>  
> Da [mm]L/\IQ[/mm] zyklische Erweiterung existiert ein [mm]\tau \in Aut_\IQ(L): Gal(L/\IQ) = \{1,\tau,\tau^2,\tau^3\} \Rightarrow \{1,\tau^2\}[/mm]
> ist die einzige echte Untergruppe der Galoisgruppe und
> entspricht gerade dem Zwischenkörper E. Da aber E nicht im
> Fixkörper von [mm]\sigma \in Gal(L/\IQ)[/mm] liegt, ist [mm]\sigma = \tau[/mm]
> oder [mm]\sigma = \tau^3 \Rightarrow Gal(L/\IQ) = <\sigma>[/mm].

[ok]

>  Stimmt das so?

Ja. (Bis auf das "Problem" oben.)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
zyklische Galoiserw vom Grad 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Mo 24.01.2011
Autor: Lippel

Hallo, danke für die Antwort!

> > Sei [mm]\alpha \in E\backslash{\IR} \Rightarrow[/mm] Da [mm][E:\IQ] = 2[/mm]
> > ist [mm]deg\: min_\IQ(\alpha) = 2[/mm]. Nach der pq-Formel ist
> > [mm]\alpha = a+bi, a \in \IQ, b \in \IR \Rightarrow \overline{\alpha} = a-bi = 2a - \alpha \in E[/mm].
>
> Warum ist [mm]a \in \IQ[/mm]? Das musst du genauer begruenden.

Da [mm] $min_\IQ(\alpha)$ [/mm] normiert vom Grad 2, existieren $p,q [mm] \in \IQ: min_\IQ(\alpha) [/mm] = [mm] X^2+pX+q$. [/mm] Damit sind die Nullstellen von [mm] $min_\IQ(\alpha)$ [/mm] gegeben durch: [mm] $-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. [/mm] Hier ist [mm] $\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=i\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$ [/mm] imaginär, da ja eine Nullstelle des Polynoms, nämlich [mm] $\alpha$ [/mm] echt komplex ist. Der Realteil beider Nullstellen ist aber rational, nämlich [mm] $-\frac{p}{2}$. [/mm] Damit existiert $a [mm] \in \IQ, [/mm] b [mm] \in \IR: \alpha=a+bi$. [/mm]
Oder übersehe ich da etwas?

LG Lippel

Bezug
                                        
Bezug
zyklische Galoiserw vom Grad 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 24.01.2011
Autor: felixf

Moin,

> > > Sei [mm]\alpha \in E\backslash{\IR} \Rightarrow[/mm] Da [mm][E:\IQ] = 2[/mm]
> > > ist [mm]deg\: min_\IQ(\alpha) = 2[/mm]. Nach der pq-Formel ist
> > > [mm]\alpha = a+bi, a \in \IQ, b \in \IR \Rightarrow \overline{\alpha} = a-bi = 2a - \alpha \in E[/mm].
> >
> > Warum ist [mm]a \in \IQ[/mm]? Das musst du genauer begruenden.
>
>  Da [mm]min_\IQ(\alpha)[/mm] normiert vom Grad 2, existieren [mm]p,q \in \IQ: min_\IQ(\alpha) = X^2+pX+q[/mm].
> Damit sind die Nullstellen von [mm]min_\IQ(\alpha)[/mm] gegeben
> durch: [mm]-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}[/mm]. Hier ist
> [mm]\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=i\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}[/mm] imaginär,
> da ja eine Nullstelle des Polynoms, nämlich [mm]\alpha[/mm] echt
> komplex ist. Der Realteil beider Nullstellen ist aber
> rational, nämlich [mm]-\frac{p}{2}[/mm]. Damit existiert [mm]a \in \IQ, b \in \IR: \alpha=a+bi[/mm].
>  
> Oder übersehe ich da etwas?

nein, so ist's richtig :-)

LG Felix


Bezug
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