zyklische Galoiserweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Mi 30.01.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Sei L [mm] \subset \IC [/mm] ein Teilkörper, so dass [mm] L/\IQ [/mm] eine zyklische Galoiserweiterung vom Grad 4 ist.
1. Zeigen Sie, dass die Erweiterung [mm] L/\IQ [/mm] genau einen echten Zwischenkörper besitzt.
2. Zeigen Sie, dass dieser Zwischenkörper bereits in [mm] \IR [/mm] liegt. |
Guten Abend liebe Mathefreunde,
die Aufgabe bereitet mir jetzt schon seit einiger Zeit Kopfschmerzen, weil ich mit der Galoistheorie noch nicht klar komme.
Ich weiß also, dass die Galoiserweiterung zyklisch und vom Grad vier ist, woraus schon mal folgt, dass [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] eine Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] ist.
Jetzt brauche ich irgendein Argument, warum [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] nur eine Untergruppe hat, weil ich dann mit dem Hauptsatz der Galiostheorie weiß, dass es auch nur einen Zwischenkörper von [mm] L/\IQ [/mm] gibt. Aber was muss man da noch weiter schließen, um auf eine Lösung zu kommen???
(2) Falls ich mit meinen Ideen zu (1) richtig liege, habe ich dann also, dass es genau einen echten Zwischenkörper gibt. Angenommen, der Zwischkörper, nennen wir ihn E, läge nicht in [mm] \IR, [/mm] dann liegt er in [mm] \IC. [/mm] dann würde nach der Gradformel gelten: [mm] [L:\IQ]=[L:E]*[E:\IQ]= 1*2=2\not=4. [/mm] Wobei [L:E]=1 ist, weil L ja auch schon in [mm] \IC [/mm] liegt.
Stimmt das, oder liege ich da falsch?
Schon mal danke für eure Antworten,
Gruß
wee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 30.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo wee
> Sei L [mm]\subset \IC[/mm] ein Teilkörper, so dass [mm]L/\IQ[/mm] eine
> zyklische Galoiserweiterung vom Grad 4 ist.
>
> 1. Zeigen Sie, dass die Erweiterung [mm]L/\IQ[/mm] genau einen
> echten Zwischenkörper besitzt.
>
> 2. Zeigen Sie, dass dieser Zwischenkörper bereits in [mm]\IR[/mm]
> liegt.
>
> Guten Abend liebe Mathefreunde,
>
> die Aufgabe bereitet mir jetzt schon seit einiger Zeit
> Kopfschmerzen, weil ich mit der Galoistheorie noch nicht
> klar komme.
> Ich weiß also, dass die Galoiserweiterung zyklisch und vom
> Grad vier ist, woraus schon mal folgt, dass [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] eine
> Untergruppe von [mm]S_4[/mm] ist.
Du weisst noch viel mehr: die Galoisgruppe ist zyklisch. Und deren Ordnung ist gleich dem Grad der Koerpererweiterung, also 4. Damit ist sie isomorph zu [mm] $\IZ/4\IZ$.
[/mm]
> Jetzt brauche ich irgendein Argument, warum [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] nur
> eine Untergruppe hat, weil ich dann mit dem Hauptsatz der
> Galiostheorie weiß, dass es auch nur einen Zwischenkörper
> von [mm]L/\IQ[/mm] gibt. Aber was muss man da noch weiter schließen,
> um auf eine Lösung zu kommen???
Welche Untergruppen hat [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] denn?
> Wobei [L:E]=1 ist, weil L ja auch schon in [mm]\IC[/mm] liegt.
> Stimmt das, oder liege ich da falsch?
Das ist falsch. Zum Beispiel liegen $E = [mm] \IQ(i)$ [/mm] und $L = [mm] \IQ(e^{2\pi i/8}$ [/mm] beide in [mm] $\IC$ [/mm] und es gilt $E [mm] \subseteq [/mm] L$, aber $E [mm] \neq [/mm] L$!
Betrachte doch mal den Automorphismus ``komplexe Konjugation'' von [mm] $\IC$. [/mm] Wenn du ihn auf $L$ einschraenkst, gibt das wieder einen Automorphismus (warum?). Jetzt hast du zwei Faelle: entweder er ist auf ganz $L$ gleich der Identitaet, oder er ist es nicht. Was bedeuten die beiden Faelle jeweils?
LG Felix
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