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| Aufgabe | Ein Element g einer Gruppe G heißt Erzeuger, wenn G = <g> gilt. In
diesem Fall sagen wir, dass die Gruppe G zyklisch sei.
Zeigen Sie, dass die Gruppe G = [mm] \IZ/(12) [/mm] zyklisch ist und geben Sie alle Erzeuger an. |
Hallo,
mein Problem ist, das mir nicht klar ist was [mm] \IZ/(12) [/mm] ist...kann mir das jemand beantworten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ein Element g einer Gruppe G heißt Erzeuger, wenn G = <g>
> gilt. In
> diesem Fall sagen wir, dass die Gruppe G zyklisch sei.
> Zeigen Sie, dass die Gruppe G = [mm]\IZ/(12)[/mm] zyklisch ist und
> geben Sie alle Erzeuger an.
> Hallo,
>
> mein Problem ist, das mir nicht klar ist was [mm]\IZ/(12)[/mm]
> ist...kann mir das jemand beantworten?
Schau mal hier:
http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~holz/algebra/AlgebraI3.pdf
Seite 19, Beispiel 5.4
FRED
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Also ist hier mit [mm] \IZ/(12) [/mm] eigentlich [mm] \IZ/12\IZ [/mm] gemeint?
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Hallo,
> Also ist hier mit [mm]\IZ/(12)[/mm] eigentlich [mm]\IZ/12\IZ[/mm] gemeint?
Jo!
Gruß
schachuzipus
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Hi,
ziemlich offensichtilich, sind ja {1,-1} die Erzeuger dieser zyklischen Grp.
Reicht es dann, rechnerisch zu zeigen, dass mit 1 bzw -1 alle Elemente der Grp. durch dazuaddieren erzeugt werden? Also einfach rechnen?
Und wenn ich dann zeigen will, dass es keine weiteren mehr gibt, wie gehe ich dabei vor?
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> Hi,
>
> ziemlich offensichtilich, sind ja {1,-1} die Erzeuger
> dieser zyklischen Grp.
Hallo,
ist es wirklich so offensichtlich?
Schon die -1 ist erklärungsbedürftig, würd' ich sagen, denn es ist ist doch [mm] \IZ/ 12\IZ =\{0,1,2,3,...,11\}.
[/mm]
> Reicht es dann, rechnerisch zu zeigen, dass mit 1 bzw -1
> alle Elemente der Grp. durch dazuaddieren erzeugt werden?
> Also einfach rechnen?
Ja.
Allerdings wäre auch die Aussage
> sind ja {1,-1} die Erzeuger
noch zu hinterfragen.
Ich bin mit Dir einig, daß 1 und -1 (was auch immer sich dahinter verbergen mag) Erzeuger der Gruppe sind.
Aber sind es wirklich "die" Erzeuger die Gruppe? Die einzigen?
Dieser Frage solltest Du nochmal auf den Grund gehen. Ruhig wirklich primitiv rechnend, denn dann merkt man schnell, worauf es ankommt.
LG Angela
>
> Und wenn ich dann zeigen will, dass es keine weiteren mehr
> gibt, wie gehe ich dabei vor?
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Bezieht sich [mm] \IZ/12\IZ [/mm] nicht immer auf die Reste?
Also müsste dort beseer stehen: [mm] \IZ/12\IZ= [/mm] { [mm] \overline{0}, \overline{1},..., \overline{11} [/mm] } ?
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Hallo BH,
> Bezieht sich [mm]\IZ/12\IZ[/mm] nicht immer auf die Reste?
> Also müsste dort beseer stehen:
> [mm]\IZ/12\IZ=[/mm] [mm]\{\overline 0,\overline 1,\ldots,\overline{11}\}[/mm] ?
Ja, so schreibt man das üblicherweise ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe dann mal gerechnet und erkannt: "Erzeuger können nur Primzahlen sein und dann müssen sie noch Teilerfremd zu hier 12 sein."
Ich habe aber irgendwie Probleme mit den negativen Zahlen also z.B "-1".
Kann mir da bitte mal jemand eine Resterechnung als Beispiel zeigen?
Die -1 entspricht doch [mm] \overline{1} [/mm] , oder?
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> Also ich habe dann mal gerechnet und erkannt: "Erzeuger
> können nur Primzahlen sein und dann müssen sie noch
> Teilerfremd zu hier 12 sein."
Hallo,
das zweite ist richtig: die zur 12 teilerfremden sind Erzeuger.
Hier sind das zufällig Primzahlen,
aber von [mm] \IZ/ 9\IZ [/mm] ist beispielsweise 4 ein Erzeuger.
>
> Ich habe aber irgendwie Probleme mit den negativen Zahlen
> also z.B "-1".
> Kann mir da bitte mal jemand eine Resterechnung als
> Beispiel zeigen?
> Die -1 entspricht doch [mm]\overline{1}[/mm] , oder?
Nein.
-1 ist die Abkürzung für "das Inverse von 1 bzgl. der Addition".
Also ist -1 das Element x, für welches gilt 1+x=0.
Überzeuge Dich davon, daß hier -1=11 .
LG Angela
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> Überzeuge Dich davon, daß hier -1=11 .
>
Und genau das gelingt mir nicht... :(
z.B.: 23=1*12+11 und 23=2*12-1 und deswegen -1=11?
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Hallo BigHead,
> > Überzeuge Dich davon, daß hier -1=11 .
> >
> Und genau das gelingt mir nicht... :(
>
> z.B.: 23=1*12+11 und 23=2*12-1 und deswegen -1=11?
Es ist in [mm]\IZ_{12}[/mm] ja 23=11
Schau mal:
[mm]\overline 1 \ + \ \overline{11} \ = \ \overline{12} \ = \ \overline{0} [/mm]
Dann addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von [mm]\overline{1}[/mm], also [mm]-\overline 1[/mm] von links:
[mm]\Rightarrow \underbrace{-\overline 1 \ + \ \overline 1}_{=\overline 0} \ + \ \overline{11} \ = \ -\overline 1 \ + \ \overline {0} \ = \ -\overline 1[/mm]
Also [mm] $\overline{11} [/mm] \ = \ [mm] -\overline{1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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