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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 25.11.2007 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sie G eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 (5,8). Wieviele Elemente erzeugen G? |
Die Antworten zu der Aufgabe habe ich:
Ordnung 6: x, [mm] x^5
[/mm]
Ordnung 5: x, [mm] x^2, x^3, x^4
[/mm]
Ordnung 8: x, [mm] x^3, x^5, x^7
[/mm]
Sollte stimmen, oder?
Aber ich weiss nicht, wie man auf diese Lösungen kommt. Habe absolut keine Ahnung.
Noch eine andere kleine Frage nebenbei:
Besteht eine symmetrische Gruppe der Ordnung 3 immer aus folgenden Elementen:
[mm] {1,x,x^2,y,xy,x^2y}?
[/mm]
oder kann man eine symmetrische Gruppe der Ordnung 3 auch mit anderen Elementen darstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Sei x ein erzeugendes Element. Wir betrachten nun [mm] x^k [/mm] wenn k und die Gruppenordnung
einen gemeinsamen Teiler haben dann erzeugt [mm] x^k [/mm] nicht alle Elemente.
Man kann die [mm] S_3 [/mm] auch aus Elementen erzeugen die alle die Ordnung 2 haben.
Das gilt sogar für jede endliche symentrische Gruppe und somit für jede
endliche Gruppe.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 25.11.2007 | | Autor: | johnny11 |
Hallo komduck ,
Vielen Dank für die tolle Antwort.
Wie steht es dann eigentlich bei folgender Frage:
"Wieviele Elemente einer zyklischen Gruppe der Ordnung n sind Erzeuger für die Gruppe? "
Gibt es da eine bestimmte Gesetzesmässigkeit?
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http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_%CF%86-Funktion