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| Aufgabe | | Seien a,b [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] A=\pmat{ a & b \\ 0 & 1 } \in M_{2}(\IQ).Betrachte V=\IQ^{2} [/mm] als [mm] \IQ[X]-Modul [/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation von V und mit X*v=A*v für alle v [mm] \in [/mm] V.Man bestimme in Abhängigkeit von a und b,ob V ein zyklischer [mm] \IQ[X]-Modul [/mm] ist. |
Hallo zusammen^^
Ich habe mich an diese Aufgabe versucht, aber komme nicht mehr weiter.
Ist das X hier ein Polynom?
V ist ein zyklischer [mm] \IQ[X]-Modul [/mm] genau dann, wenn [mm] V=\IQ[X]*v, [/mm] d.h. wenn ein Element aus V den kompletten Modul V erzeugt.
Jetzt hab ich einfach mal gerechnet, [mm] A*v=\vektor{a*v_{1}+b*v_{2} \\ v_{2}}. [/mm] Und das soll =X*v sein, aber wie berechne ich denn X*v?
Diese Gleichung erinnert mich an Eigenwerte, aber ich denke, damit hat das hier nichts zu tun.
Ich versteh jetzt nicht, wie ich herausfinde, ob ein solches v existiert, welches den kompletten Modul V erzeugt?
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 22.04.2011 | | Autor: | watumba |
Hallo,
gleiche Aufgabe, ebenso viele Probleme. Ich verstehe die Konstruktion ebenso wie du; jetzt habe ich einfach mal angenommen, [mm] X\*v_{} [/mm] mit [mm] v_{} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] sei zu verstehen als
[mm] x_{}\*\vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i}} [/mm] = [mm] \vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i+1} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1}}, [/mm] also als Skalarmultiplikation mit dem x, das auch die Polynome in den Komponenten von v bildet. (Hier ist der Punkt, an dem ich mir nicht mehr sicher bin, ob ich die Konstruktion richtig verstanden habe. Wer sieht, dass das Unsinn ist, sollte nicht weiterlesen :) .)
Also gilt:
[mm] x_{} \* \vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i}} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 1 } \* \vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i+1} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1}} [/mm] = [mm] \vektor{a \* \summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i+1} + b \* \summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i+1} \\ \summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1}}
[/mm]
Komponentenvergleich ergibt:
x [mm] \* (\summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1}) [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1.
Damit kann ich recht wenig anfangen, wenn x die freie Variable in einem Polynom sein soll; vielleicht ist aber auch das wieder zu naiv gedacht. Ich werde das erst mal auch nicht weiter verfolgen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 24.04.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
erstmal hab ich auch keine Ahnung wie die aufgabe zu lösen ist.
Aber ist es nicht so, dass V genau dann zyklisch ist wenn die Präasentierungsmatix eine 1*1 Matrix ist.
Kann man dann nicht einfach mit dem Satz für Smithnormalformen schauen für welche a,b sich A so reduzieren lässt dass sie zu einer 1*1 MAtrix wird. MAn darf ja zeilen und spalten die "Einheitsvektoren" sind streichen und behällt immer noch die selbe Präsentierungsmatix. Kann hier aber genauso gut sein das das Unsinn ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
> erstmal hab ich auch keine Ahnung wie die aufgabe zu
> lösen ist.
> Aber ist es nicht so, dass V genau dann zyklisch ist wenn
> die Präasentierungsmatix eine 1*1 Matrix ist.
Ich seh grad, wir hatten einen Satz, dass wenn V zyklisch ist, dann ist die PM eine 1 [mm] \times [/mm] 1 Matrix.Aber dieses "genau dann" sthet so nicht im Satz.
lg
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> Hallo,
>
> gleiche Aufgabe, ebenso viele Probleme. Ich verstehe die
> Konstruktion ebenso wie du; jetzt habe ich einfach mal
> angenommen, [mm]X\*v_{}[/mm] mit [mm]v_{}[/mm] = [mm]\vektor{a \\
b}[/mm] sei zu
> verstehen als
> [mm]x_{}\*\vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i} \\
\summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i}}[/mm] = [mm]\vektor{\summe_{i=1}^{n} a_{i}\*x^{i+1} \\
\summe_{i=1}^{n} b_{i}\*x^{i+1}},[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß hier etwas im Argen liegt, sollte Dir auffallen, wenn Du Dir klarmachst, um welchen Modul es geht: um den Modul [mm] V=\IQ^2.
[/mm]
Unglücklicherweise hast Du bei Deiner Konstruktion als Ergebnis der Multiplikation aber keine Elemente des [mm] \IQ^2, [/mm] sondern des [mm] (\IQ[X])^2.
[/mm]
Für weiteres: s. meine Antwort
Gruß v. Angela
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> Seien a,b [mm]\in \IQ[/mm] und [mm]A=\pmat{ a & b \\
0 & 1 } \in M_{2}(\IQ).Betrachte V=\IQ^{2}[/mm]
> als [mm]\IQ[X]-Modul[/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation
> von V und mit X*v=A*v für alle v [mm]\in[/mm] V.Man bestimme in
> Abhängigkeit von a und b,ob V ein zyklischer [mm]\IQ[X]-Modul[/mm]
> ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe mich an diese Aufgabe versucht, aber komme nicht
> mehr weiter.
Hallo,
da ich mich auch hier nicht richtig auskenne, kann ich Euch nur teilweise weiterhelfen.
> Ist das X hier ein Polynom?
Es ist wie immer:
[mm] \IQ[X] [/mm] ist der Ring der Polynome in der Variablen X mit Koeffizienten aus [mm] \IQ.
[/mm]
Und X ist X. Nicht irgendein Polynom!
>
> V ist ein zyklischer [mm]\IQ[X]-Modul[/mm] genau dann, wenn
> [mm]V=\IQ[X]*v,[/mm] d.h. wenn ein Element aus V den kompletten
> Modul V erzeugt.
Achso.
>
> Jetzt hab ich einfach mal gerechnet,
> [mm]A*v=\vektor{a*v_{1}+b*v_{2} \\
v_{2}}.[/mm] Und das soll =X*v
> sein, aber wie berechne ich denn X*v?
Ömm - so wie Du es berechnet hast...
Es steht doch da, daß X*v:=A*v.
Aber ich glaube, daß Deine Frage eigentlich eine andere ist, nämlich diese:
wenn [mm] p=a_0X^0+a_1X^1+...+a_kX^k, [/mm] wie berechnet man dann p*v?
So:
[mm] p*v=(a_0X^0+a_1X^1+...+a_kX^k)*v
[/mm]
[mm] =a_0X^0*v+a_1X*v+a_2X^2*v+...+a_kX^k*v
[/mm]
[mm] =a_0A^0*v+a_1A*v+a_2A^2*v+...+a_kA^k*v
[/mm]
EDIT: ich würd' sagen, daß man jetzt tatsächlich in Richtung Eigenwerte/-räume von A nachdenken müßte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Guten Abend,
würde gerne die Lösung bzw wie es weiter geht, wissen.
Habe mit Eigenwerten [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=a, [/mm] die Eigenvektoren ausgerechnet: bei [mm] \lambda_{1} [/mm] ist dann [mm] x_{1}=(-b/(a-1))x_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{2}: bx_{1}=0 [/mm] und [mm] (1-a)x_{2}=0, [/mm] also [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}=0. [/mm]
Wäre das richtig? Bin mir ziemlich unsicher, wie es weiter geht.
Gruß Gina
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Hallo,
mir ist gerade etwas eingefallen:
wenn man einen Vektor u findet, für den
(u, Au) eine Basis des [mm] \IQ^2 [/mm] ist, dann ist doch u ein Erzeuger des Moduls.
Jetzt kannst Du ja erstmal gucken, für welche Fälle man so ein u findet.
Danach müßte man dann drüber nachdenken, ob die Moduln für die man nicht so ein u findet, womöglich nicht zyklisch sind.
LG Angela
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Hallo,
> Aber ich glaube, daß Deine Frage eigentlich eine andere
> ist, nämlich diese:
> wenn [mm]p=a_0X^0+a_1X^1+...+a_kX^k,[/mm] wie berechnet man dann
> p*v?
> So:
>
> [mm]p*v=(a_0X^0+a_1X^1+...+a_kX^k)*v[/mm]
> [mm]=a_0X^0*v+a_1X*v+a_2X^2*v+...+a_kX^k*v[/mm]
> [mm]=a_0A^0*v+a_1A*v+a_2A^2*v+...+a_kA^k*v[/mm]
>
> EDIT: ich würd' sagen, daß man jetzt tatsächlich in
> Richtung Eigenwerte/-räume von A nachdenken müßte.
>
Ich hab jetzt mal [mm] A^{0} [/mm] und [mm] A^{2} [/mm] ausgerechnet und eingesetzt.Dann habe ich
[mm] p*v=a_{0}*\vektor{v_{1} \\ v_{2}}+a_{1}*\vektor{a*v_{1}+b*v_{2} \\ v_{2}}+a_{2}*\vektor{a^{2}*v_{1}+(ab+b)*v_{2} \\ v_{2}}+...+a_{k}*A^{k}.
[/mm]
Jetzt hab ich mir einfach mal den Fall a=b=0 angeschaut.Es scheint, dass bei diesem Fall so etwas da steht: [mm] p*v=a_{0}*\vektor{v_{1} \\ v_{2}}+a_{1}*\vektor{0 \\ v_{2}}+a_{2}*\vektor{0 \\ v_{2}}+...+a_{k}*\vektor{0 \\ v_{2}}.
[/mm]
Da ich [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ v_{2}} [/mm] habe, und beim ersten Fall [mm] v_{1} [/mm] auch not=0 sein kann, würde ich sagen, dass für a=b=0 V kein zyklischer Modul ist.
Dann hab ich mir gedacht, dass [mm] a*v_{1}+b*v_{2}=v_{1} [/mm] sein muss, damit [mm] A^{k}*v=v_{1} [/mm] ist für alle k. Dann hätte ich nämlich überall [mm] A^{k}*v=\vektor{v_{1} \\ v_{2}}. [/mm]
Wenn ich jetzt [mm] a*v_{1}+b*v_{2}=v_{1} [/mm] nach a auflöse, dann hab ich [mm] b=\bruch{v_{1}}{v_{2}}*(1-a).
[/mm]
Kann man das so machen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 27.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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