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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Fr 15.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Es sei p [mm] \in [/mm] Z eine Primzahl. Zeigen Sie, dass M := [mm] \IZ/p^2\IZ [/mm] ein zyklischer [mm] $\IZ$-Modul [/mm] ist und dass M genau einen [mm] $\IZ$-Untermodul N_1 [/mm] der Ordnung p enthält. Gibt es einen [mm] $\IZ$-Untermodul N_2 \subseteq [/mm] M mit M = [mm] N_1 \oplus N_2? [/mm] |
Hi,
M ist zyklisch heißt, dass M von einem Element erzeugt ist, also M=Lin(m)=R*m (R immer Euklidischer Ring). Bsp.: R=Lin(1); [mm] R=\IZ, \IZ=Lin(1), \IZ\supset 2\IZ=Lin(2). [/mm] Ein paar Zeilen darunter steht Bsp.: [mm] R=$\IZ$: M=\IZ/6\IZ=Lin(\bar{1}), \bar{a}\in\IZ/6\IZ [/mm] , [mm] \bar{a}=a*\bar{1}. [/mm] Gilt das nur für [mm] \IZ/6\IZ? [/mm] oder für alle Faktormoduln der Form [mm] \IZ/m\IZ, [/mm] dann wären ja alle solche Moduln zyklisch?
Ich verstehe nicht, warum p eine Primzahl sein soll; wenn man sie quadriert ist es ja dann eh keine mehr, was bringt das hier also? Aber mal als Beispiel p=3: [mm] \IZ/3\IZ, [/mm] dann [mm] $\IZ/9\IZ$=$\{\bar{0},...,\bar{8}\}, [/mm] mit dem von oben kann man jedes Element aus [mm] $\IZ/9\IZ$ [/mm] durch [mm] \bar{1} [/mm] darstellen: [mm] $\IZ/9\IZ$\ni\bar{a}=a*\bar{1}, [/mm] also ist [mm] $\IZ/9\IZ$ [/mm] zyklisch?
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moin,
> oder für alle Faktormoduln der Form $ [mm] \IZ/m\IZ, [/mm] $ dann wären ja alle solche Moduln zyklisch?
Ja, du hast schon Recht, dieser Teil der Aufgabe ist nicht sonderlich schwer und du brauchst hier nicht, dass $p$ eine Primzahl ist.
Für den zweiten Teil brauchst du diese Info allerdings schon, denn dass es genau einen solchen Untermodul gibt gilt im Allgemeinen nicht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 15.06.2012 | | Autor: | triad |
> moin,
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> > oder für alle Faktormoduln der Form [mm]\IZ/m\IZ,[/mm] dann wären
> ja alle solche Moduln zyklisch?
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> Ja, du hast schon Recht, dieser Teil der Aufgabe ist nicht
> sonderlich schwer und du brauchst hier nicht, dass [mm]p[/mm] eine
> Primzahl ist.
> Für den zweiten Teil brauchst du diese Info allerdings
> schon, denn dass es genau einen solchen Untermodul gibt
> gilt im Allgemeinen nicht.
Also du meinst, M enthält genau einen [mm] $\IZ$-Untermodul N_1 [/mm] der Ordnung p ist i.A. eine falsche Aussage? In der Aufgabenstellung steht allerdings zeigen sie, und das steht normalerweise bei uns immer vor richtigen Aussagen, die wir dann eben beweisen sollen.
>
> lg
>
> Schadow
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Ja, aber dafür brauchst du eben explizit, dass $M = [mm] \IZ/p^2\IZ$.
[/mm]
Das geht eben für [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] für allgemeines [mm] $\IZ$ [/mm] schief, nur der Beweis, dass das ganze zyklisch ist, klappt allgemein.
Die Aussage, die du zeigen sollst, ist so schon richtig, aber wie gesagt brauchst du für den zweiten Teil [mm] $p^2$.
[/mm]
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:56 Sa 16.06.2012 | | Autor: | triad |
> Ja, aber dafür brauchst du eben explizit, dass [mm]M = \IZ/p^2\IZ[/mm].
>
> Das geht eben für [mm]\IZ/m\IZ[/mm] für allgemeines [mm]\IZ[/mm] schief,
> nur der Beweis, dass das ganze zyklisch ist, klappt
> allgemein.
Achso, danke!
> Die Aussage, die du zeigen sollst, ist so schon richtig,
> aber wie gesagt brauchst du für den zweiten Teil [mm]p^2[/mm].
>
Hier weiss ich nicht genau wie man das zeigt, nimmt man einen Untermodul von M und zeigt, dass er ein [mm] $\IZ$-Modul [/mm] der Ordnung p ist?
> lg
>
> Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:50 Di 19.06.2012 | | Autor: | davux |
Hallo triad,
die Situation mit zyklisch ist wohl geklärt, denke ich. Trotzdem nochmal:
Die Definition bei uns sagt, ist der Modul M von einem Element erzeugt, so heißt M zyklisch. Wenn man also zeigen kann, dass [mm] $\IZ/p^2 \IZ$ [/mm] von einem Element erzeugt ist, dann ist das abgehakt. Hier in dem Fall ist es, wie von dir schon richtig bemerkt, die Restklasse der 1.
M hat hier bei uns die Ordnung [mm] p^2-1. [/mm] Wir sollen zeigen, dass es genau einen Untermodul der Ordnung p gibt. Die Untermoduln von [mm] $\IZ/n \IZ$ [/mm] sind, wie wir schon auf einem Übungsblatt hatten gerade die Teiler von n. Sagen wir, q teilt n, dann ist $q [mm] \IZ/n \IZ$ [/mm] ein Untermodul. Da p eine Primzahl ist, die quadriert ist, gibt es wohl welche Teiler?
Die nächste Frage ist, ob wir $p [mm] \IZ/p^2 \IZ$ [/mm] noch einen Untermodul finden, so dass deren direkte Summe wieder M ergibt. Dazu müsste es einen weiteren Teiler von [mm] p^2 [/mm] geben, wobei ggT(p,q)=1 ist. Gibts das?
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