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Normalenform
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Normalenform

(Weitergeleitet von Achsenabschnittsform)

Definition Normalenform der Ebenengleichung


Schule

Gegeben sei die Ebene E durch $ E: \vec x = \vec a + \lambda\cdot{} \vec u + \mu\cdot{} \vec v $.

Sei $ \vec a $ der Ortsvektor zu einem Punkt A der Ebene E,
und sei $ \vec n $ ein Vektor, der auf den Richtungsvektoren $ \vec u $ und $ \vec v $ der Ebene (und damit auf der ganzen Ebene) senkrecht steht, dieser Vektor wird Normalenvektor genannt.

Diesen Normalenvektor kann man mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren relativ schnell ermitteln, es gilt also: $ \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} $

Dann gilt:

$ \vec n \cdot{} \vec x = \vec n \cdot{} \vec a + \lambda\cdot{} \underbrace {\vec n \cdot{} \vec u}_{=0} + \mu\cdot{} \underbrace {\vec n \cdot{} \vec v}_{=0} \Rightarrow E: \vec n \cdot{} \vec x = \vec n \cdot{} \vec a \gdw \vec n\cdot{}\left(\vec x - \vec a\right)=0 $


oder ausführlich in Koordinatenschreibweise:

$ E: \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} $


oder prägnanter:

$ E: \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot{} \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\right)=0 $


Multipliziert man die Skalarprodukte aus, erhält man die Ebenengleichung in Koordinatenform:

$ E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 - (n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3) =0 $


$ E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + d = 0 $


mit

$ d:=(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3) $


Hesse-Form der Ebenengleichung

Benutzt man zum Aufstellen der Normalenform der Ebenengleichung einen Normaleneinheitsvektor

$ {\vec n}^0=\bruch{\vec n}{|\vec n|} $

so, dass in der Gleichung

$ {\vec n}^0 \cdot \vec x = {\vec n}^0 \cdot \vec a  \gdw {\vec n}^0 \cdot \vec x - {\vec n}^0 \cdot \vec a=0 $


der Ausdruck $ {\vec n}^0 \cdot \vec a > 0 $ gilt, so heißt diese Normalenform Hesse-Form der Ebenengleichung.


Abstandsbetrachtung mit der Hesse-Form:

Setzt man den Ortsvektor $ \vec p $ eines Punktes P für $ \vec x $ in die Hesse-Form ein, so erhält man die Maßzahl d des Abstands |d| des Punktes P von der Ebene:

$ d=\vec n^0 \cdot{} \vec p - \vec n^0 \cdot{} \vec a=\vec n*(\vec p-\vec a) $

d>0: P und der Ursprung O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene E.
d=0: P liegt auf der Ebene E.
d<0: P und O liegen auf derselben Seite der Ebene E.


Achsenabschnittsform der Ebenengleichung

Sie wird entwickelt aus der Normalenform $ E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_4 = 0 $, indem man $ n_4 $ auf die andere Seite der Gleichung holt und anschließend durch $ -n_4 $ teilt:

$ \frac{-n_1}{n_4}\cdot{}x_1+\frac{-n_2}{n_4}\cdot{}x_2+\frac{-n_3}{n_4}\cdot{}x_3=1 $

Die Kehrbrüche der Koeffizienten ergeben dann die Spurpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen:

$ S_1\left(\frac{-n_4}{n_1}|0|0\right) $ ;  $ S_2\left(0|\frac{-n_4}{n_2}|0\right) $  ; $ S_3\left(0|0|\frac{-n_4}{n_3}\right) $



Universität


Erstellt: Mo 20.12.2004 von informix
Letzte Änderung: Sa 12.03.2011 um 14:45 von M.Rex
Weitere Autoren: Loddar
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