Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A12Beweis-Tutorial
3. "es existiert"-Aussagen
Lösungsvorschlag Aufgabe 12
Aufgabe:
Seien natürliche Zahlen. Gelte und . Zeige .
Überlegungen zur Lösung:
Gegeben:
Natürliche Zahlen .
, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .
, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .
Zu zeigen:
gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .
Beispielsweise mit Schmierzettel-Methode ein Beispiel für finden:
1. Eine geeignete natürliche Zahl muss
![$ k''\cdot x=z=k'\cdot y=k'\cdot k\cdot x $ $ k''\cdot x=z=k'\cdot y=k'\cdot k\cdot x $](/teximg/2/5/02231152.png)
erfüllen. Im Falle folgt .
2. Die Zahl ist tatsächlich eine natürliche Zahl (da und natürliche Zahlen sind) und erfüllt
![$ z=k'\cdot y=k'\cdot k\cdot x=k''\cdot x $ $ z=k'\cdot y=k'\cdot k\cdot x=k''\cdot x $](/teximg/5/5/02231155.png)
(auch im Falle ).
Lösungsvorschlag:
Da gilt, existiert eine natürliche Zahl mit .
Da gilt, existiert eine natürliche Zahl mit .
Da und natürliche Zahlen sind, ist auch eine natürliche Zahl. Sie erfüllt
.
Also gilt .
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