Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial Vorbereitungen

Beweis-Tutorial

Inhaltsverzeichnis 2. "es existiert"-Aussagen

1. Vorbereitungen: Definitionen

Herzlich Willkommen zum Beweis-Tutorial!

Mal angenommen, wir wollen folgenden Zusammenhang beweisen:

    Sei eine gerade natürliche Zahl. Dann ist auch die natürliche Zahl gerade.

Man nennt die zu Beginn getroffenen Annahmen (hier: ist eine gerade natürliche Zahl) die Voraussetzungen und die zu beweisende Folgerung (hier: ist gerade) die Behauptung.

Eigentlich eine Binsenweisheit, aber trotzdem von vielen nicht beachtet: Man kann kaum einen erfolgreichen Beweis führen, wenn man sich nicht klargemacht hat, was die Voraussetzungen und die Behauptung bedeuten.

Im obigen Beispiel müssen wir also zunächst wissen, wann eine natürliche Zahl gerade heißt. Hier die entsprechende Definition:

Definition Eine natürliche Zahl heißt gerade, wenn eine natürliche Zahl mit existiert.

Zurück zu obiger Beweis-Aufgabe: Die Voraussetzung " gerade" bedeutet also:

    Es existiert eine natürliche Zahl mit .

Das dürfen wir für unseren Beweis also als gegeben annehmen und verwenden. Die Behauptung " gerade" bedeutet:

    Es existiert eine natürliche Zahl mit .

Das müssen wir also zeigen. Da nicht zu erwarten ist, dass die Zahl aus der Behauptung die gleiche ist wie die Zahl aus der Behauptung, sollten wir besser in unserer Ausformulierung der Behauptung einen anderen Namen für diese Zahl wählen, z.B. :

    Es existiert eine natürliche Zahl mit .

Zusammengefasst:

Gegeben:
    Eine natürliche Zahl .
    Es existiert einen natürliche Zahl mit .
Zu zeigen:
    Es existiert eine natürliche Zahl mit .     

Im Studium wirst du die Definitionen meist in deinen Vorlesungsmitschriften finden. Rekapituliere also alle benötigten Definitionen bzw. schlage sie nach. Schreibe dir am besten für jede einzelne Voraussetzung und für die Behauptung auf, was sie bedeutet, wie wir es für obiges Beispiel gemacht haben.

Für die Zwecke dieses Tutorials findest du alle benötigten Definitionen nachfolgend. In den zugehörigen kleinen Übungsaufgaben sollst du Routine im Anwenden von Definitionen bekommen. Denn wie gesagt: Um erfolgreich Beweise finden zu können, wirst du dir meist zunächst die Bedeutung der beteiligten Aussagen anhand der Definitionen klarmachen müssen. Den eigentlichen Beweisen widmen wir uns dann auf den nächsten Seiten.

Definition Seien und natürliche Zahlen. Dann schreiben wir ( teilt ), falls eine natürliche Zahl mit existiert.

Aufgabe 1 Seien natürliche Zahlen. Was bedeutet die Aussage " und "? Lösungsvorschlag

Wenn im Folgenden von einer Funktion die Rede ist, handelt es sich um eine "gewöhnliche" Funktion wie aus der Schule bekannt, die jeder reellen Zahl die reelle Zahl zuordnet.

Definition Eine Funktion heißt gerade, falls für alle reellen Zahlen gilt.
Eine Funktion heißt ungerade, falls für alle reellen Zahlen gilt.

Aufgabe 2 Was bedeutet die folgende Aussage? "Die Funktion ist gerade." Lösungsvorschlag

Definition Eine Funktion heißt monoton steigend, falls für alle reellen Zahlen mit gilt.
Eine Funktion heißt monoton fallend, falls für alle reellen Zahlen mit gilt.

Aufgabe 3 Sei eine Funktion. Was bedeutet die Aussage " ist monoton fallend"? Lösungsvorschlag

Definition Eine Funktion heißt surjektiv, falls für alle reellen Zahlen eine reelle Zahl mit existiert.

Aufgabe 4 Was bedeutet die folgende Aussage? "Die Funktion ist surjektiv." Lösungsvorschlag