www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Geradenschnittpunkt
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Geradenschnittpunkt

Gegeben sind zwei Geraden, gesucht ist ihr Schnittpunkt:


$ \vektor{1\\-1\\-4}+r \vektor{2\\-4\\7} = \vektor{-1\\2\\0}+s \vektor{-2\\3\\4} $


Zuerstmal: wenn man mehrere Variablen, und mehrere Gleichungen hat, dann nennt sich das ein "Lineares Gleichungssystem" (LGS).
Wir haben hier zwei Unbekannte und drei Gleichungen. Zum 'einfach nur lösen' würden uns zwei Gleichungen reichen, d.h. die dritte bleibt uns übrig, um damit die Probe zu machen (und in der Probe sehen wir dann, ob's auch wirklich einen Schnittpunkt gibt).

Ich schreib die drei Gleichungen nochmal auf:

$ 1+2r=-1-2s $  $ |+2s\ |-1 $
$ -1-4r=2+3s $  $ |-3s\ |+1 $
$ -4+7r=4s $  $ |-4s\ |+4 $

Jetzt ein wenig umformen - ich bringe alle Variablen auf eine Seite, und die konstanten Zahlen auf die andere Seite (also das, was ich hinter die Gleichungen geschrieben habe):

$ 2r+2s=-2 $
$ -4r-3s=3 $
$ 7r-4s=4 $

Um für r und s Lösungen zu finden, brauche ich nur zwei dieser drei Gleichungen. Dafür nehme ich einfach (willkürlich) die ersten beiden Gleichungen, und "spare" mir die dritte Gleichung für die Probe auf.

$ 2r+2s=-2 $
$ -4r-3s=3 $

Um in der zweiten Gleichung das r wegzubekommen, multipliziere ich die erste Gleichung mit 2, und addiere die beiden Gleichungen.
Das kann man einfach im Kopf rechnen, was dann passiert, ich beschreib es mal kurz, bevor ich den nächsten Schritt hinschreibe:

Was passiert mit dem r? $ 2 \cdot 2r + (-4r)\ =\ 4r-4r\ =\ 0 $ (genau das wollten wir ja).

Was passiert mit dem s? $ 2 \cdot 2s + (-3s)\ =\ 4s-3s\ =\ s $

Was passiert mit den Zahlen? $ 2 \cdot (-2) + 3\ =\ -4+3\ =\ -1 $

Somit bleibt nach der Aktion "2 mal erste Gleichung plus zweite Gleichung" das folgende LGS übrig (die erste Zeile bleibt unverändert, nur die zweite Zeile wird ersetzt):

$ 2r+2s=-2 $
$ s=-1 $

Aus der zweiten Gleichung kann man direkt $ s=-1 $ ablesen.
Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man: $ 2r+2 \cdot (-1) =-2 $  $ \gdw $  $ 2r-2=-2 $  $ \gdw $  $ 2r=0 $  $ \gdw $  $ r=0 $.

Also hat die Rumrechnerei mit den ersten beiden Gleichungen folgenden Lösungen gebracht: $ s=-1 $, und $ r=0 $.

Jetzt das wichtigste: die Probe in der dritten Gleichung $ 7r-4s=4 $:

$ 7 \cdot 0 - 4 \cdot (-1)\ =\ 0+4\ =\ 4 $, also wahre Aussage, und somit schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.

Wenn du jetzt noch den Schnittpunkt brauchst, dann setzt du entweder das $ s=-1 $ in die Geradengleichung ein, die das s enthält, oder eben das $ r=0 $ in die Geradengleichung, in der das r steht. Und (wieder) als Probe (ob du dich beim Einsetzen verrechnet hast) kannst du natürlich beides machen, es müsste sich beide Male derselbe Schnittpunkt ergeben (bzw. "Ortsvektor des Schnittpunktes", um's mathematisch korrekt auszudrücken).

Der Ortsvektor zum Schnittpunkt lautet also:


$ \vektor{1\\-1\\-4}+0\cdot{} \vektor{2\\-4\\7}= \vektor{1\\-1\\-4} $


oder

$ \vektor{-1\\2\\0}+(-1) \vektor{-2\\3\\4} = \vektor{1\\-1\\-4} $

Erstellt: Mo 10.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Mi 15.11.2006 um 17:55 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de