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Integral
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Integral

geometrische Definition

Das bestimmte Integral benutzt man, um krummlinig begrenzte Flächenstücke zu berechnen.

Genauer:
Sei die Funktion f auf dem Intervall I stetig; sei $ a, b  \in I $ und f(x)>0 auf dem Intervall [a;b].
Dann ist die Maßzahl A der Fläche gesucht, die der Graph der Funktion f zwischen x=a und x=b mit der x-Achse einschließt.
Man unterteilt dazu das Intervall I in $ n \in N $ Teile mit der Länge $ h = \bruch{b-a}{n} $ und bildet die Summe

$ S_n = h\cdot{}f(x_1) + h\cdot{}f(x_2)\cdot{} {...} + h\cdot{}f(x_n) $


also die Summe der Rechtecksflächen mit der Breite h und der Höhe $ f(x_i) $.
Man kann dabei die $ x_i $ so wählen, dass sie die Mitte der Rechtecksseiten angeben.
Dann gilt:

$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \bruch {b-a}{n} \sum_{i=1}^{n}f(a+i\cdot{}\bruch{b-a}{n}) $


Das Integralzeichen (= langgestrecktes S) deutet auf die Summenbildung,
das Symbol dx auf die Grenzwertbildung über die Variable x hin.
Die Funktion f(x) wird auch als Integrand oder Integrandenfunktion bezeichnet,
die Variable x als Integrationsvariable.

siehe auch: [link]dynamische Veranschaulichung


andere Definition:

Wählt man die $ x_i $ am linken Rand statt in der Mitte der Teilintervalle,
so erhält man Rechtecke, deren linke obere Ecke auf dem Graphen liegen, die also vollständig unter dem Graphen liegen.
Dann bescheibt $ S_n $ die Untersumme $ U_n $ der Rechtecksflächen.

Wählt man die $ x_i $ am rechten Rand statt in der Mitte der Teilintervalle,
so erhält man Rechtecke, deren rechte obere Ecke auf dem Graphen liegen, die also vollständig über dem Graphen liegen.
Dann bescheibt $ S_n $ die Obersumme $ O_n $ der Rechtecksflächen.

siehe auch: Unter- und Obersumme

Man bildet wie oben die Grenzwerte für $ n \rightarrow \infty $; stimmen sie überein,
so nennt man diesen gemeinsamen Grenzwert ebenfalls das bestimmte Integral der Funktion f.


Bemerkungen:

Wenn die Funktion f auch negative Funktionswerte besitzt, dann stimmt der Wert des Integrals nicht mehr mit dem Flächeninhalt überein, weil das bestimmte Integral dann die Differenz der Maßzahl des Flächeninhalts oberhalb und unterhalb der x-Achse angibt (orientierte oder signierte Flächen).
Zur Berechnung werden die Beträge der Einzelflächen zwischen den Nullstellen der Funktion f addiert.

Erstreckt sich eine Fläche bis ins Unendliche, dann muss sie, falls sie existiert, mithilfe der Kenntnisse über Grenzwerte bestimmt werden:

  • Uneigentliches Integral heißt ein Integral, bei dem eine Grenze im Unendlichen liegt:

    $ \int_{a}^{\infty}{f(x)\ dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}{f(x)\ dx $

  • Unbestimmtes Integral
    Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral:

    $ \int f(x) \,dx = F(x) + C $

    Dabei ist F(x) eine Stammfunktion zu f und C eine beliebige additive, reelle Konstante.

  • Grundintegrale
    Für eine Liste von einer Auswahl von Stammfunktionen siehe auch Grundintegrale
Erstellt: Mo 08.11.2004 von informix
Letzte Änderung: So 21.06.2009 um 16:49 von informix
Weitere Autoren: Loddar
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