www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Integral
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Integral

geometrische Definition

Das bestimmte Integral benutzt man, um krummlinig begrenzte Flächenstücke zu berechnen.

Genauer:
Sei die Funktion f auf dem Intervall I stetig; sei $ a, b  \in I $ und f(x)>0 auf dem Intervall [a;b].
Dann ist die Maßzahl A der Fläche gesucht, die der Graph der Funktion f zwischen x=a und x=b mit der x-Achse einschließt.
Man unterteilt dazu das Intervall I in $ n \in N $ Teile mit der Länge $ h = \bruch{b-a}{n} $ und bildet die Summe

$ S_n = h\cdot{}f(x_1) + h\cdot{}f(x_2)\cdot{} {...} + h\cdot{}f(x_n) $


also die Summe der Rechtecksflächen mit der Breite h und der Höhe $ f(x_i) $.
Man kann dabei die $ x_i $ so wählen, dass sie die Mitte der Rechtecksseiten angeben.
Dann gilt:

$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \bruch {b-a}{n} \sum_{i=1}^{n}f(a+i\cdot{}\bruch{b-a}{n}) $


Das Integralzeichen (= langgestrecktes S) deutet auf die Summenbildung,
das Symbol dx auf die Grenzwertbildung über die Variable x hin.
Die Funktion f(x) wird auch als Integrand oder Integrandenfunktion bezeichnet,
die Variable x als Integrationsvariable.

siehe auch: [link]dynamische Veranschaulichung


andere Definition:

Wählt man die $ x_i $ am linken Rand statt in der Mitte der Teilintervalle,
so erhält man Rechtecke, deren linke obere Ecke auf dem Graphen liegen, die also vollständig unter dem Graphen liegen.
Dann bescheibt $ S_n $ die Untersumme $ U_n $ der Rechtecksflächen.

Wählt man die $ x_i $ am rechten Rand statt in der Mitte der Teilintervalle,
so erhält man Rechtecke, deren rechte obere Ecke auf dem Graphen liegen, die also vollständig über dem Graphen liegen.
Dann bescheibt $ S_n $ die Obersumme $ O_n $ der Rechtecksflächen.

siehe auch: Unter- und Obersumme

Man bildet wie oben die Grenzwerte für $ n \rightarrow \infty $; stimmen sie überein,
so nennt man diesen gemeinsamen Grenzwert ebenfalls das bestimmte Integral der Funktion f.


Bemerkungen:

Wenn die Funktion f auch negative Funktionswerte besitzt, dann stimmt der Wert des Integrals nicht mehr mit dem Flächeninhalt überein, weil das bestimmte Integral dann die Differenz der Maßzahl des Flächeninhalts oberhalb und unterhalb der x-Achse angibt (orientierte oder signierte Flächen).
Zur Berechnung werden die Beträge der Einzelflächen zwischen den Nullstellen der Funktion f addiert.

Erstreckt sich eine Fläche bis ins Unendliche, dann muss sie, falls sie existiert, mithilfe der Kenntnisse über Grenzwerte bestimmt werden:

  • Uneigentliches Integral heißt ein Integral, bei dem eine Grenze im Unendlichen liegt:

    $ \int_{a}^{\infty}{f(x)\ dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}{f(x)\ dx $

  • Unbestimmtes Integral
    Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral:

    $ \int f(x) \,dx = F(x) + C $

    Dabei ist F(x) eine Stammfunktion zu f und C eine beliebige additive, reelle Konstante.

  • Grundintegrale
    Für eine Liste von einer Auswahl von Stammfunktionen siehe auch Grundintegrale
Erstellt: Mo 08.11.2004 von informix
Letzte Änderung: So 21.06.2009 um 16:49 von informix
Weitere Autoren: Loddar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de