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Kreis
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Kreis

Definition

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) die Entfernung r ("Radius") besitzen:

$ K = \{P | |PM| = r\} $  (Umfang) oder $ K = \{P | |PM| \le r\} $ (Kreisfläche)

Dies kann man auch mit Hilfe der Vektorrechnung beschreiben, wenn $ \vec{m} $ der Ortsvektor des Mittelpunkts M ist:

$ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 $

in Koordinaten ausgedrückt:

$ (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2=r^2 $



Umfang des Kreises

$ U_{Kr} = 2 \pi r $

Flächeninhalte


Kreis

$ A_{Kr} = \pi r^2 \cdot{} $

Kreissegment

Durch eine Sekante abgetrennter Teil eines Kreises
$ A \, = \frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right) $
Siehe auch Wikipedia: Kreissegment

Kreissektor

Durch zwei Radien  begrenzter Teil eines Kreises ("Kuchenstück")
$ A \, = \, \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2 \cdot \pi = \frac{1}{2} b \cdot r $
Siehe auch Wikipedia: Kreissektor

Berechnung von Kreistangenten


Aufgabe

Gegeben ist der Kreis K mit $ \left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2 $, der von der Geraden x = c mit $ \left|c\right|<r $ in den Punkten $ P_1 $ und $ P_2 $ geschnitten wird. Man bestimme die Kreistangenten $ f_{1;2} $ für $ P_1 $ und $ P_2 $.

Lösung

Wir gehen also von der allgemeinen Kreisgleichung eines Kreises K mit Mittelpunkt $ \left(x_M\left|\ y_M\!\right.\right) $ aus: $ \left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2 $ und formen diese nach y um, wodurch wir zwei Funktionen erhalten:

$ \Leftrightarrow \left(y-y_M\right)^2 = r^2-\left(x-x_M\right)^2\Rightarrow y-y_M = \pm\sqrt{r^2-\left(x-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow y=y_M\pm\sqrt{r^2-\left(x-x_M\right)^2}. $

Angenommen eine senkrechte Gerade x=c schneidet K in den Punkten

$ P_{1;2}:=\left(c\left|\ y_M\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}\right.\right). $

Bilden der Ableitungen

$ y'\left(c\right) = \pm\frac{x_M-c}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}} $

und Einsetzen von $ P_{1;2} $ zusammen mit diesen Ableitungen in die allgemeine Geradengleichung f(x):=ax+b ergibt:

$ y_M\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}=\pm\frac{x_Mc-c^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}+b $

$ \Leftrightarrow\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}y_M+r^2-\left(c-x_M\right)^2=x_Mc-c^2\pm b\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}y_M+r^2 + x_Mc - x_M^2=\pm b\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow b = y_M\pm\frac{r^2+x_Mc-x_M^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}. $

Allgemein erhalten wir also für die Kreistangenten in $ P_{1;2} $:

$ f_{1;2}(x)= \pm\frac{x_Mx-cx}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}+y_M\pm\frac{r^2+x_Mc-x_M^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}. $

Erstellt: Di 03.06.2008 von ardik
Letzte Änderung: Fr 10.09.2010 um 16:01 von Karl_Pech
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