Menge

Definition Menge

Zahlen oder andere unterscheidbare Objekte werden in der Mathematik zu einer Menge zusammengefasst.

Beispiele

aufzählende Form:

beschreibende Form:  

Definition Teilmenge

Werden aus einer Menge einige Elemente zu einer neuen Menge zusammengefasst, so nennt man N eine Teilmenge von M und schreibt: .
Die leere Menge ist per Definition stets Teilmenge jeder anderen Menge: .
Jede Menge ist aber auch Teilmenge von sich selbst: .

bedeutet: "und zugleich"

Bezeichnung

Die Menge, die kein Element enthält heißt leere Menge und wird mit oder mit bezeichnet.

Durchschnitt

Unter dem Durchschnitt (der Schnittmenge) von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in beiden Mengen zugleich enthalten sind (in A und B):
Seien und gegeben, dann ist der Durchschnitt (die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Vereinigung

Unter der Vereinigung von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in (mind.) einer der beiden Mengen enthalten sind (in A oder B):
Seien und gegeben, dann ist der Vereinigung der beiden Mengen.

siehe auch: Wikipedia

Naive Betrachtungen:

Es werden im allgemeinen mit großen Buchstaben Mengen und mit kleinen Buchstaben Elemente aus Mengen bezeichnet. Eine endliche Menge A wird vorzugsweise durch Angabe aller ihrer Elemente beschrieben, . Sehr üblich ist auch die Charakterisierung einer Menge X durch Angabe einer Eigenschaft E, die genau allen Elementen von X zukommt,

Die leere Menge wird mit bezeichnet.

Ist ein Objekt x Element einer Menge A (kürzer: x ist in A, bzw. x ist aus A), dann bezeichnen wir das durch , gelegentlich auch . Andernfalls, also wenn x nicht in A ist, schreiben wir .

bedeutet, dass A eine Teilmenge von B ist, d.h. jedes x aus A ist auch in B. bedeutet dasselbe wie .

Die Gleichheit von Mengen, A=B, ist durch und definiert. Um also A=B nachzuweisen, ist stets zu zeigen: .

Ist A eine echte Teilmenge von B, d.h. , aber , dann kennzeichnen wir das durch . Man achte sorgfältig auf den Unterschied der Zeichen , und . Es ist , außerdem ist bei durchaus A=B möglich, bei gibt es ein , das nicht in A liegt, .

Natürlich können auch Mengen als Elemente in einer Menge vorkommen, so in der Potenzmenge P(A) einer Menge A. Es ist

.

Ist eine Menge von Mengen, dann bezeichnen wir den Durchschnitt alles Mengen aus mit

.

Entsprechend für die Vereinigung

.

Ist endlich, , dann sind auch die Bezeichnungen üblich. Für die Vereinigung gilt das analog.

Im Falle heißen X und Y disjunkt.

Als relatives Komplement von B in A wird die Menge

bezeichnet.

Das direkte oder cartesische Produkt der Mengen ist

,

wobei darauf zu achten ist, dass genau dann gilt, wenn .

Falls gilt für alle i , dann schreiben wir für das Produkt auch

  (n Faktoren).

Die Mächtigkeit einer Menge A wird mir bezeichnet. Also , wenn A aus n (verschiedenen) Elementen besteht.

Es ist

,

und für die Potenzmenge P(A) von A gilt:

.

Für die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null), natürlichen Zahlen zusammen mit der Null, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen werden die folgenden Standardbezeichnungen verwendet:

.

Quelle: isbn3446130799

Attribute von Mengen:

abgeschlossen
abzählbar
beschränkt
dicht
endlich
leer
kompakt
messbar: Wenn sie in der Sigma-Algebra eines Messraumes enthalten ist.
offen
perfekt: Eine Teilmenge von heißt perfekt, wenn sie gleich der Menge ihrer Häufungspunkte ist.
überabzählbar: nicht abzählbar
unendlich
zusammenhängend