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Prämaß
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Prämaß

Definition Prämaß

$ \mathcal{R} $ Ring in $ \Omega $, $ \mu:\ \mathcal{R}\to[0,+\infty] $ Funktion.
$ \mu $ heißt Prämaß (auf $ \mathcal{R} $) wenn

  • $ \mu(\emptyset)=0 $
  • $ (A_n) $ Folge paarweise fremder Mengen $ \Rightarrow $ $ \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\summe_{n=1}^\infty \mu(A_n) $ ($ \sigma $-Additivität)

Siehe auch: Inhalt, Maß

Beispiele:
1. $ \mathcal{R} $ Ring in $ \Omega $, $ \omega\in\Omega $.
$ \Rightarrow\ \varepsilon_\omega(A):=\begin{cases} 1, & \omega\in A; \\ 0, & \omega\not\in A.\end{cases} $ ist ein Prämaß auf $ \mathcal{R} $. Es heißt das durch die Einheitsmasse in $ \omega $ definierte Prämaß auf $ \mathcal{R} $

2. $ \Omega $ nichtabzählbar (z.B.$ \Omega=\IR $), $ \mathcal{A}:=\left\{A\subseteq\Omega\ :\ A\mbox{ oder }\complement A\mbox{ abzählbar}\right\} $ $\sigma$-Algebra. $ \Rightarrow $ $ \mu(A):=\begin{cases} 0, & A\text{ abzählbar} \\ 1, & \complement A\text{ abzählbar}\end{cases} $ ist Prämaß auf $ \mathcal{A} $ (es ist sogar ein Maß)

3. $ \mu_1,\mu_2,\ldots $ Folge von Inhalten (bzw. Prämaßen) auf Ring $ \mathcal{R} $, $ \alpha_1,\alpha_2,\ldots $ Folge nicht-negativer Zahlen. $ \mu:=\summe_{n=1}^\infty \alpha_n\mu_n $ ist Inhalt (bzw. Prämaß) auf $ \mathcal{R} $

4. Lebesguesches Prämaß

Literatur: isbn3110136252

Erstellt: Mo 14.07.2008 von Marc
Letzte Änderung: Do 31.07.2008 um 10:50 von Marc
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