www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Untergruppe
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Untergruppe

Definition Untergruppe


Universität

Eine nichtleere Teilmenge $ U $ einer Gruppe $ G $ heißt eine Untergruppe von $ G $, wenn $ U $ mit der Verknüpfung aus $ G $ selbst eine Gruppe ist.

Setzt man für zwei nichtleere Teilmenge $ A $ und $ B $ einer Gruppe $ G $

$ AB:=\{ab\, \vert \, a \in A,\, b \in B\} $

und

$ A^{-1}:=\{a^{-1}\, \vert \, a \in A\} $,

so kann man die folgenden Unterraumkriterien formulieren:

Es sei $ G $ eine Gruppe und $ U \subseteq G $ eine nichtleere Teilmenge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

a) $ U $ ist eine Untergruppe von $ U $.

b) Aus $ u,\, v \in U $ folgt $ uv \in U $ und $ u^{-1} \in U $.

c) $ UU \subseteq U $ und $ U^{-1} \subseteq U $.

d) $ UU=U $ und $ U^{-1} = U $.

e) Aus $ u,\, v \in U $ folgt: $ uv^{-1} \in U $.

f) $ UU^{-1}\subseteq U $.

g) $ UU^{-1} = U $.

Für endliche Gruppen kann man noch ein günstigeres Kriterium formulieren:

Eine nichtleere endliche Teilmenge $ U $ einer Gruppe $ G $ ist genau dann eine Untergruppe, wenn mit alle $ u,\, v \in U $ auch $ uv $ in $ U $ liegt, d.h. wenn $ UU\subseteq U $ gilt.


Beispiele

a) In jeder Gruppe $ G $ sind stets $ \{e\} $ und $ G $ Untergruppen, die sogenannten trivialen Untergruppen. Klar ist auch, dass jede Untergruppe $ V $ einer Untergruppe $ U $ von $ G $ auch Untegrgruppe von $ G $ ist.

b) $ (\IZ,+) $ ist eine Untergruppe von $ (\IR,+) $, $ (\IR,+) $ ist eine Untergruppe von $ (\IC,+) $. Für jede natürliche Zahl $ n $ ist $ n\IZ=\{nm \, \vert\, m \in \IZ\} $ eine Untergruppe von $ \IZ\ (=(\IZ,+)) $. Ist $ d $ ein Teiler von $ n $, dann ist jedes Vielfache von $ n $ auch Vielfaches von $ d $. Folglich ist $ n\IZ \subseteq d\IZ $, und es ist $ (n\IZ,+) $ eine Untergruppe von $ (d\IZ,+) $.

c) Sei $ G=\{e,a,b,c\} $ die Kleinsche Vierergruppe. Es sind $ U=\{e,a\} $, $ V=\{e,b\} $ und $ W=\{e,c\} $ Untergruppen von $ G $.

d) Sei $ X $ eine nichtleere Menge, $ S(X) $ die symmetrische Gruppe von $ X $ und für ein festes Element $ a \in X $ sei

$ U:= \{f \in S(X)\, \vert \, f(a)=a\} $.

Für $ f,\, g \in U $ gilt: $ (f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(a)=a $; d.h. $ f \circ g \in U $. Außerdem ist $ f(a)=a $ äquivalent zu $ f^{-1}(a)=a $, also ist auch $ f^{-1} \in U $. Daher ist $ U $ eine Untergruppe von $ S(X) $.

e) In der symmetrischen Gruppe $ S(\IN) $ betrachten wir für jedes $ n \in \IN $ die Teilmenge

$ S_n'=\{f \in S(\IN)\, \vert \, f(i)=i\quad \mbox{für alle } \ i \in \IN \setminus \{1,2,\ldots,n\}\} $.

Die $ S_n' $ sind Untergruppen von $ S(\IN) $, Außerdem sieht man, dass für $ n<m $ auch $ S_n' $ eine Untergruppe von $ S_m' $ ist. Es handelt sich bei diesen $ S_n' $ nur um eine andere Schreibweise der symmetrischen Gruppen $ S_n $ (triviale Isomorphie). Fasst man die $ S_n $ in der angegebenen Weise als Untergruppen von $ S(\IN) $ auf, so ist für $ n \le m $ $ S_n $ eine Untergruppe von $ S_m $.

f) Wie man durch einfaches Ausrechnen der Produkte bestätigt, ist

$ V_4 = \left\{ e=Id, \quad a=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3}, \quad b=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2}, \quad c = \pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1} \right\} $

eine Untergruppe von $ S_4 $. Dies ist eine Realisierung der Kleinschen Vierergruppe, da durch die Festlegung $ a^2=b^2=e $ die Struktur der Vierergruppe bereits festgelegt ist.

g) Der Satz von Cayley lautet unter Verwendung des Begriffs Untergruppe: Jede Gruppe $ G $ ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $ S(G) $.


Interessant ist es natürlich, wie sich Untergruppen bei homomorphen Abbildungen verhalten:

Es seien $ G,\, H $ Gruppen, $ U $ eine Untergruppe von $ G $, $ V $ eine Untergruppe von $ H $ und $ \varphi:G \to H $ ein Homomorphismus. Dann gilt:

a) Das Bild $ \varphi(U) $ ist eine Untergruppe von $ H $.
b) Das Urbild $ \varphi^{-1}(V) $ ist eine Untergruppe von $ G $.

Die Sonderfälle $ U=G $ und $ V=\{e\} $ ergeben:

a) $ Bild(\varphi) $ ist eine Untergruppe von $ H $.
b) $ Kern(\varphi) $ ist eine Untergruppe von $ G $.

Als Bild eines inneren Automorphismismus ist mit jeder Untergruppe $ U $ von $ G $ und jedem $ g \in G $ auch $ gUg^{-1} $ eine Untergruppe von $ G $. Die Untergruppen $ gUg^{-1} $, $ g \in G $, heißen die zu $ U $ konjugierten Untergruppen. Untergruppen $ U,\, V $ von $ G $ heißen also konjugiert, wenn es ein $ g \in G $ gibt mit $ U=gVg^{-1} $. Man sieht leicht ein, dass die durch "$ U $ ist konjugiert zu $ V $" definierte Relation auf der Menge der Untergruppen von $ G $ eine Äquivalenzrelation ist. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Klassen konjugierter Untergruppen. Die Menge alles Untergruppen zerfällt also in disjunkte Klassen konjugierter Untergruppen. In abelschen Gruppen gilt stets $ gUg^{-1}=U $, d.h. in abelschen Gruppen bestehen die Klassen konjugierter Untergruppen jeweils aus genau einem Element.


Wie verhalten sich Untergruppen bei Mengenoperationen?


1) inneres Produkt

Es seien $ U,\, V $ Untergruppen einer Gruppe $ G $. Es ist $ UV $ genau dann eine Untergruppe, wenn $ UV=VU $ gilt. Sind also $ U,\, V $ Untergruppen einer abelschen Gruppe $ G $, dann ist $ UV $ eine Untergruppe von $ G $.

2) Durchschnitt

Ist $ G $ eine Gruppe, $ I $ eine nichtleere Menge und $ \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I} $ eine Familie von Untergruppen von $ G $, dann ist auch $ \bigcap\limits_{\alpha \in I} U_{\alpha} $ eine Untergruppe von $ G $.

3) Vereinigung

Die Vereinigung von Untergruppen ist im allgemeinen keine Untergruppe.


Quelle: isbn3446130799


Erstellt: Fr 26.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 04.09.2011 um 16:41 von nowhereman
Weitere Autoren: Marc
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de