www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt

Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f: V\to W $ mit $ \dim V=n $ und $ \dim W=m $.

Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor $ 0\in W $ abgebildet werden:

$ \Kern(f)=\left\{v\in V\ |\ f(v)=0\right\} $

Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen (dies ist eine $ m\times n $-Matrix $ A=(a_{ij}) $ (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $ f(v)=A\cdot{}v $ für alle $ v\in V $), so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems:

$ \Kern(f)=\Kern(A)=\left\{v\in V\ :\ Av=0\right\} $

Das heißt, die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu bestimmen:

$ Av=0 $
$ \gdw\ A\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}}\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \begin{array}{|ccccc}
a_{11}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{1n}\cdot{}v_n&=&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{mn}\cdot{}v_n&=&0\end{array} $


Beispiele



1. Beispiel die Telefonmatrix von $ \IR^3 $ nach $ \IR^3 $:

$ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} $

Sie hat den Rang 2 daraus bzw. aus der Dimensionsformel, lässt sich schliessen, dass es auch einen Kern gibt.

Erstellt man ein Gleichungssystem mit obigen Schema kommt man auf:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ 4v_1+5v_2+6v_3=0 $
$ 7v_1+8v_2+9v_3=0 $

komplett aufgelöst sieht es so aus:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ -3v_2-6v_3=0 $
$ 0=0 $

Es gibt einen Freiheitsgrad, da wir 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten haben.
In diesem Fall setzen wir $ v_3:=1 $.
Daraus folgt:

$ v_2=-2 $

weiterhin folgt:

$ v_1=  -2v_2 -3v_3 = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 1 $.

Also ist der Kern:

$ Kern(T) = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle $




2. Beispiel:

$ F: \IR^3 \to \IR^2 $ (von $ \IR^3 $ nach $ \IR^2 $)

$ \vec{v} = \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z} $


Die dazu aufgestellte Matrix lautet:

$ M = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2} $


Nun können wir 2 Gleichungen aufstellen (da nach $ \IR^2 $ abbilden).

$ M\cdot{}\vec{v} = \vec{0} $

I. $ x + z = 0 $
II. $ 2x + 4y + 2z $


Nun wird umgeformt:

I. $ x + z = 0 $

$ \Rightarrow \red{z = -x} $

$ \Rightarrow \green{x = -z} $




Jetzt wird II. umgeformt und I. $ \red{z = -x} $ eingesetzt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y + 2\cdot{}(\red{-x}) = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y  \red{ - 2x} = 0 $

$ \Rightarrow 4y = 0 $

$ \Rightarrow y = 0 $




Jetzt wird II. umgeformt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4\cdot{}0 + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2z = - 2x $

$ \Rightarrow z = - x $




Jetzt wird I. $ \red{z = -x} $ und II. $ \Rightarrow z = - x $ gleichgesetzt:

$ -x = -x $

$ x = x $


Der Kern lautet also:

$ Ker(F) = \vektor{x \\ 0 \\ -x} $

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 17.03.2007 um 22:06 von Disap
Weitere Autoren: DaMenge, KnockDown, Shaguar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de